Um circuito em série contém um resistor
, um indutor
, um capacitor
e um gerador produzindo uma voltagem de
sen
.
A carga inicial é
e a corrente inicial é 0 .
Determine a carga e a corrente no instante
.
but try
. Substituting into the differential equation gives
, so
and
. Hence, the general solution is
. But
and
, so
and
. Thus the charge is given by
.
A carga inicial é
Determine a carga e a corrente no instante
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do circuito em série:
- Resistor:
. - Indutor:
. - Capacitor:
. - Fonte:
(volts).
- Resistor:
- Condições iniciais:
- Carga inicial no capacitor:
. - Corrente inicial:
.
- Carga inicial no capacitor:
- O que se pede:
- A carga
para todo . - A corrente
para todo .
- A carga
Observação: a corrente está relacionada à carga por
. No circuito série RLC, a equação diferencial para
surge da soma algébrica das quedas de tensão igual à tensão da fonte (Lei de Kirchhoff).
Passo 2
Montando a equação diferencial do circuito e explicando cada termo.
- A queda de tensão no indutor é
porque . - A queda de tensão no resistor é
porque . - A tensão no capacitor é
porque . - Pela Lei de Kirchhoff (soma das quedas = fonte), obtemos a ODE:
Agora substituo os valores numéricos
:
pois
.
Dividindo por
para simplificar:
(Atenção: dividi todos os termos por 2; isto é equivalente e facilita contas.)
Passo 3
Resolvendo a equação homogênea associada (transiente). Vou explicar a ideia: resolvemos primeiro a parte homogênea
porque a solução geral é soma da homogênea com uma particular.
- Equação característica:
- Calculo do discriminante:
Discriminante negativo => raízes complexas conjugadas.
- Raízes:
- Solução da homogênea (forma padrão para raízes
):
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do que isso significa: a solução homogênea é um regime transitório amortecido (fator
) com oscilações de frequência angular
rad/s.
Passo 4
Procurando uma solução particular
usando método dos coeficientes indeterminados.
Motivo do palpite: a forçante é
(após divisão por 2), então tentamos uma solução particular da forma senos e cossenos na mesma frequência:
onde
são constantes a determinar.
Agora calculo
e
(para substituir na ODE). Derivando:
Substituo na equação original (na forma antes da divisão por 2 seria mais direto; aqui vou usar a forma dividida para consistência:
):
Left-hand side (LHS):
Agora agrupo termos em
e
.
- Coeficiente de
:
(Repare que
cancela.)
- Coeficiente de
:
(De novo alguns termos cancelam.)
Portanto
Queremos que isso seja igual à
. Igualando coeficientes:
Logo
Assim a solução particular é
Observação didática: escolhemos senos e cossenos porque a derivação mantém essa família; se a frequência fosse solução da homogênea (ressonância), seria necessário multiplicar por
, mas aqui a frequência
não coincide com a parte oscilatória homogênea
.
Passo 5
Escrevendo a solução geral e aplicando condições iniciais para determinar
.
A solução geral:
Condição
:
Logo
Em forma fracionária
.
Agora usamos a condição sobre a corrente:
. Preciso calcular
de forma detalhada (aqui explico o procedimento passo a passo).
- Primeiro derive o termo homogêneo. Se
, então . Com produto por ,
Logo para a parte homogênea:
- Derivada da parte particular
:
Somando,
Agora imponho
. Em
temos
. Assim
Logo
Substituindo
:
Em forma fracionária
.
Passo 6
Escrevendo
final com os coeficientes encontrados e simplificando a corrente
.
- A carga:
Se preferir em frações exatas:
- A corrente
. Podemos usar a expressão genérica já obtida e substituir . Primeiro observe que
então o coeficiente do
na derivada é zero — isso simplifica bastante.
Calculo do coeficiente do
:
Em fração:
.
Portanto
Ou usando frações: