Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar integrais de coordenadas cartesianas para esféricas, além de conhecer as fórmulas de mudança de variável e o jacobiano dessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos. A integral é:
Aqui, estamos integrando a função sobre uma região específica no espaço.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por , onde:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
é o ângulo a partir do eixo z.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 4
Também precisamos do jacobiano da transformação para coordenadas esféricas, que é o fator de escala necessário quando mudamos de coordenadas. O jacobiano para coordenadas esféricas é:
J = rho^2 sinphi
Então, o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. A função (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 = (rho^2)^3/2 = rho^3 em esféricas fica:
Passo 6
O próximo passo é determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites dados na integral original, vemos que varia de a , varia de a , e varia de a .
Isso descreve uma esfera centrada no ponto com raio 1. Em coordenadas esféricas, isso corresponderá a variando de 0 a 2 (já que o centro está deslocado), de 0 a , e de 0 a .
Passo 7
Montando a nova integral em coordenadas esféricas, temos: