Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral1-raiz1-x^2-y^2^1+raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar integrais de coordenadas cartesianas para esféricas, além de conhecer as fórmulas de mudança de variável e o jacobiano dessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos. A integral é:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral1-raiz1-x^2-y^2^1+raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função sobre uma região específica no espaço.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • é o ângulo a partir do eixo z.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 4

Também precisamos do jacobiano da transformação para coordenadas esféricas, que é o fator de escala necessário quando mudamos de coordenadas. O jacobiano para coordenadas esféricas é:
J = rho^2 sinphi
Então, o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. A função (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 = (rho^2)^3/2 = rho^3 em esféricas fica:

Passo 6

O próximo passo é determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites dados na integral original, vemos que varia de a , varia de a , e varia de a .
Isso descreve uma esfera centrada no ponto com raio 1. Em coordenadas esféricas, isso corresponderá a variando de 0 a 2 (já que o centro está deslocado), de 0 a , e de 0 a .

Passo 7

Montando a nova integral em coordenadas esféricas, temos:
integral0^2 integral0^pi integral0^2pi rho^3 cdot rho^2 sinphi , dtheta , dphi , drho
Aqui, vem da nossa função original, e é o jacobiano.

Passo 8

Vamos simplificar a integral multiplicando os termos:
integral0^2 integral0^pi integral0^2pi rho^5 sinphi , dtheta , dphi , drho
Agora, podemos separar as integrais, já que cada variável é independente:
( integral0^2pi dtheta ) cdot ( integral0^pi sinphi , dphi ) cdot ( integral0^2 rho^5 , drho )

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente:

Passo 10

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
2pi cdot 2 cdot 323 = 128pi3

Resposta

O valor da integral é .

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