onde representam as coordenadas retangulares sāo as coordenadas esféricas.
Passo 1
Então, temos que calcular o Jacobiano . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo mudanças de coordenadas e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas esféricas para coordenadas retangulares e entender como montar a matriz Jacobiana para calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões de coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
Essas equações nos permitem expressar , e em termos de , e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial rho = sinphi costheta , partial xpartial theta = -rho sinphi sintheta e partial xpartial phi = rho cosphi costheta em relação a partial ypartial rho = sinphi sintheta , partial ypartial theta = rho sinphi costheta e partial ypartial phi = rho cosphi sintheta . Isso vai formar a matriz Jacobiana. Vamos calcular cada uma delas:
Para partial zpartial rho = cosphi :
partial zpartial theta = 0
partial zpartial phi = -rho sinphi
Para :
Para :
Passo 4
Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos montar a matriz Jacobiana: