Calcule o Jacobiano
partial(x, y, z)partial(rho, theta, phi)
onde x, y, z representam as coordenadas retangulares c rho, theta, phi sāo as coordenadas esféricas.

Passo 1

Então, temos que calcular o Jacobiano . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo mudanças de coordenadas e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas esféricas para coordenadas retangulares e entender como montar a matriz Jacobiana para calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões de coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Essas equações nos permitem expressar , e em termos de , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial rho = sinphi costheta , partial xpartial theta = -rho sinphi sintheta e partial xpartial phi = rho cosphi costheta em relação a partial ypartial rho = sinphi sintheta , partial ypartial theta = rho sinphi costheta e partial ypartial phi = rho cosphi sintheta . Isso vai formar a matriz Jacobiana. Vamos calcular cada uma delas:
Para partial zpartial rho = cosphi :
partial zpartial theta = 0
partial zpartial phi = -rho sinphi
Para :
Para :

Passo 4

Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos montar a matriz Jacobiana:
J = partial xpartial rho & partial xpartial theta & partial xpartial phi partial ypartial rho & partial ypartial theta & partial ypartial phi partial zpartial rho & partial zpartial theta & partial zpartial phi = sinphi costheta & -rho sinphi sintheta & rho cosphi costheta sinphi sintheta & rho sinphi costheta & rho cosphi sintheta cosphi & 0 & -rho sinphi

Passo 5

Para encontrar o Jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Vamos expandir o determinante:
det(J) = sinphi costheta ( rho sinphi costheta cdot (-rho sinphi) - rho cosphi sintheta cdot 0 ) - (-rho sinphi sintheta) ( sinphi sintheta cdot (-rho sinphi) - rho cosphi sintheta cdot cosphi ) + rho cosphi costheta ( sinphi sintheta cdot 0 - rho sinphi costheta cdot cosphi )
Após simplificar os termos, chegamos a:
det(J) = rho^2 sinphi

Resposta

O Jacobiano é igual a .

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