Determine a área da superficie da parte esfera x^2+y^2+z^2=9 que está acima do plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte da esfera definida pela equação que está acima do plano . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies de esferas e planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies esféricas cortadas por planos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera tem raio . O plano corta a esfera e queremos a área da parte da esfera que fica acima desse plano. Isso forma uma “capa” esférica, também conhecida como capela esférica.

Passo 3

Para calcular a área de uma capela esférica, usamos a fórmula:
A = 2pi R h
Onde:
  • é o raio da esfera.
  • é a altura da capela, que é a distância do plano de corte até o topo da esfera.

Passo 4

Vamos encontrar a altura h = 3 - 2 = 1 . Como o raio da esfera é 3 e o plano está em , a altura é a distância do plano até o topo da esfera. O topo da esfera está em , então:

Passo 5

Agora que temos A = 2pi times 3 times 1 = 6pi e , substituímos esses valores na fórmula da área da capela esférica:

Resposta

A área da superfície da parte da esfera acima do plano é unidades de área.

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