Determine a área da superficie da parte esfera
que está acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte da esfera definida pela equação
que está acima do plano
. Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies de esferas e planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies esféricas cortadas por planos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera tem raio
. O plano
corta a esfera e queremos a área da parte da esfera que fica acima desse plano. Isso forma uma “capa” esférica, também conhecida como capela esférica.
Passo 3
Para calcular a área de uma capela esférica, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o raio da esfera. -
é a altura da capela, que é a distância do plano de corte até o topo da esfera.
Passo 4
Vamos encontrar a altura
. Como o raio da esfera é 3 e o plano está em
, a altura
é a distância do plano até o topo da esfera. O topo da esfera está em
, então:
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos esses valores na fórmula da área da capela esférica:
Resposta
A área da superfície da parte da esfera acima do plano
é
unidades de área.