Calcule a integral trigonométrica.
integral t g^2 x+t g^4 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica integral (tan^2 x + tan^4 x),dx. O conteúdo envolvido é integração de expressões em tangente, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica tan^2 x + 1 = sec^2 x além do método de substituição.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando fatorando tan^2 x:
tan^2 x + tan^4 x = tan^2 xl(1 + tan^2 xr)
Como sabemos que 1 + tan^2 x = sec^2 x, isso vira:
tan^2 x,(1 + tan^2 x) = tan^2 x,sec^2 x

Passo 3

Agora usamos a substituição adequada. Definimos
u = tan x,então dnu = sec^2 x,dx ã
Com isso, sec^2 x,dx é exatamente dnu e tan^2 x = nu^2. A integral original se transforma em
integral tan^2 x,sec^2 x,dx = integral nu^2,dnu

Passo 4

Fica agora uma integral de potência simples em nu:
integral nu^2,dnu = nu^33 + C
Voltando à variável original x, lembramos que nu = tan x, então
nu^33 + C = tan^3 x3 + C

Resposta

tan^3 x3 + C

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