Resolva a inequação x+2x+3

Passo 1

E aí! Vamos resolver a inequação x+2x+3 < x-1x-2. Aqui estamos lidando com funções racionais e queremos descobrir para quais valores de x essa inequação é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar frações e analisar os pontos onde as expressões podem mudar de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todas as expressões para um lado da inequação para facilitar a comparação. Vamos subtrair x-1x-2 de ambos os lados:
x+2x+3 - x-1x-2 < 0

Passo 3

Agora, para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre x+3 e x-2 é (x+3)(x-2). Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
(x+2)(x-2) - (x-1)(x+3)(x+3)(x-2) < 0

Passo 4

Vamos expandir os numeradores:
(x+2)(x-2) = x^2 - 4
(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3
Substituindo de volta na expressão:
(x^2 - 4) - (x^2 + 2x - 3)(x+3)(x-2) < 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador:
x^2 - 4 - x^2 - 2x + 3 = -2x -1
Então, a inequação fica:
-2x -1(x+3)(x-2) < 0

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e o denominador por -1, o que inverte o sinal da inequação:
2x +1(x+3)(x-2) > 0

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores de x que tornam essa fração positiva. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal, ou seja, ambos positivos ou ambos negativos. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
2x +1 = 0 Rightarrow x = -12
x + 3 = 0 Rightarrow x = -3
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2

Passo 8

Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
  1. x < -3
  2. -3 < x < -12
  3. -12 < x < 2
  4. x > 2

Passo 9

Vamos escolher um número teste em cada intervalo:
  1. Para x = -4:
    2(-4) +1(-4+3)(-4-2) = -8 +1(-1)(-6) = -76 < 0
  2. Para x = -1:
    2(-1) +1(-1+3)(-1-2) = -2 +1(2)(-3) = -1-6 > 0
  3. Para x = 0:
    2(0) +1(0+3)(0-2) = 1(3)(-2) = 1-6 < 0
  4. Para x = 3:
    2(3) +1(3+3)(3-2) = 6 +16 cdot 1 = 76 > 0

Passo 10

Observando os resultados dos testes:
  • Intervalo $ -3 < x < -\frac{1}{2} $ e $ x > 2 $ tornam a inequação verdadeira.
  • Nos outros intervalos, a inequação não é satisfeita.

Resposta

A solução da inequação é:
-3 < x < -12 ou x > 2

Exercícios relacionados