Resolva a inequação
Passo 1
E aí! Vamos resolver a inequação
. Aqui estamos lidando com funções racionais e queremos descobrir para quais valores de
essa inequação é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar frações e analisar os pontos onde as expressões podem mudar de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todas as expressões para um lado da inequação para facilitar a comparação. Vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre
e
é
. Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
Passo 4
Vamos expandir os numeradores:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e o denominador por
, o que inverte o sinal da inequação:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam essa fração positiva. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal, ou seja, ambos positivos ou ambos negativos. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
Passo 8
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
Passo 9
Vamos escolher um número teste em cada intervalo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 10
Observando os resultados dos testes:
- Intervalo $ -3 < x < -\frac{1}{2} $ e $ x > 2 $ tornam a inequação verdadeira.
- Nos outros intervalos, a inequação não é satisfeita.
Resposta
A solução da inequação é: