Calcule integral tripla(R) x^2+y^2+z^2 d x d y d z, onde R é a região interior à esfera x^2+y^2+z^2=9 e exterior ao cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A tarefa é calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a região $ R $, que está dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e fora do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e definir bem os limites de integração para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $. Temos uma esfera de raio 3 (já que $ \sqrt{9} = 3 $) e um cone que abre para cima com a equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Essa equação do cone pode ser reescrita como $ z = r $ em coordenadas cilíndricas, onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Como estamos lidando com uma esfera e um cone, é mais fácil usar coordenadas esféricas para simplificar a integral. Nas coordenadas esféricas, temos:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
  • $ \phi $ é o ângulo em relação ao eixo z,
  • $ \theta $ é o ângulo no plano xy em relação ao eixo x.

Passo 3

Agora, vamos expressar a equação da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ em coordenadas esféricas fica simplesmente $ \rho = 3 $, já que $ \rho $ representa a distância até a origem.
Para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, substituindo as coordenadas esféricas:
x^2 + y^2 + z^2 = 9
Então, o cone corresponde a um ângulo $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

Passo 4

O próximo passo é escrever a função que vamos integrar, $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $, em coordenadas esféricas.
Sabemos que:
x^2 + y^2 + z^2
Então, nossa função a ser integrada simplifica bastante nesse sistema de coordenadas!
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • $ \rho $ varia de 0 até 3, pois estamos dentro da esfera de raio 3.
  • $ \phi $ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $, mas como estamos fora do cone, precisamos inverter isso. Ou seja, $ \phi $ vai de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \frac{\pi}{2} $ (já que o cone está aberto para cima até o equador da esfera).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $, cobrindo toda a rotação ao redor do eixo z.

Passo 6

Vamos agora montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites definidos:
integral triplaR (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^2pi integralpi4^pi2 integral0^3 rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^2pi integralpi4^pi2 integral0^3 rho^4 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integrando em relação a $ \rho $:
rho
  1. Integrando em relação a $ \phi $:
integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 3^55 - 0 = 2435
  1. Integrando em relação a $ \theta $:
phi
  1. Multiplicando tudo:
integralpi4^pi2 sin phi , dphi = [ -cos phi ]pi4^pi2 = -cos(pi2) + cos(pi4) = 0 + raiz22 = raiz22

Resposta

O valor da integral tripla é $ \dfrac{243, \sqrt{2}, \pi}{5} $.

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