Calcule
, onde
é a região interior à esfera
exterior ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A tarefa é calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a região $ R $, que está dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e fora do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e definir bem os limites de integração para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $. Temos uma esfera de raio 3 (já que $ \sqrt{9} = 3 $) e um cone que abre para cima com a equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Essa equação do cone pode ser reescrita como $ z = r $ em coordenadas cilíndricas, onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Como estamos lidando com uma esfera e um cone, é mais fácil usar coordenadas esféricas para simplificar a integral. Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde:
- $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
- $ \phi $ é o ângulo em relação ao eixo z,
- $ \theta $ é o ângulo no plano xy em relação ao eixo x.
Passo 3
Agora, vamos expressar a equação da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ em coordenadas esféricas fica simplesmente $ \rho = 3 $, já que $ \rho $ representa a distância até a origem.
Para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, substituindo as coordenadas esféricas:
Então, o cone corresponde a um ângulo $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
O próximo passo é escrever a função que vamos integrar, $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $, em coordenadas esféricas.
Sabemos que:
Então, nossa função a ser integrada simplifica bastante nesse sistema de coordenadas!
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
- $ \rho $ varia de 0 até 3, pois estamos dentro da esfera de raio 3.
- $ \phi $ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $, mas como estamos fora do cone, precisamos inverter isso. Ou seja, $ \phi $ vai de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \frac{\pi}{2} $ (já que o cone está aberto para cima até o equador da esfera).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $, cobrindo toda a rotação ao redor do eixo z.
Passo 6
Vamos agora montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites definidos:
Simplificando a expressão:
Vamos calcular essa integral passo a passo:
- Integrando em relação a $ \rho $:
- Integrando em relação a $ \phi $:
- Integrando em relação a $ \theta $:
- Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \dfrac{243, \sqrt{2}, \pi}{5} $.