Calcule
, onde
é o sólido limitado pelo cone
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A questão pede para calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ R $, que é limitada pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar $ x $, $ y $, e $ z $, usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $. As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando $ x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas. Substituindo:
Então, a integral tripla fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região $ R $ é limitada pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ que, em coordenadas cilíndricas, fica:
E pelo plano $ z = 2 $. Então, para $ z $, temos:
Para $ r $, como o cone vai até $ z = 2 $:
E para $ \theta $, como a região é simétrica em torno do eixo $ z $:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral com esses limites:
Primeiro, integremos em relação a $ z $:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos expandir $ r^{3}(2 - r) $:
Então, a integral é:
Passo 7
Vamos integrar em relação a $ r $:
Então:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \dfrac{16\pi}{5} $.