Calcule integral tripla(R) x^2+y^2 d x d y d z, onde R é o sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A questão pede para calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ R $, que é limitada pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar $ x $, $ y $, e $ z $, usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $. As relações são:
x
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
y

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando $ x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas. Substituindo:
x^2 + y^2
Então, a integral tripla fica:
x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região $ R $ é limitada pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ que, em coordenadas cilíndricas, fica:
R
E pelo plano $ z = 2 $. Então, para $ z $, temos:
z = raizx^2 + y^2
Para $ r $, como o cone vai até $ z = 2 $:
z = r
E para $ \theta $, como a região é simétrica em torno do eixo $ z $:
z = 2

Passo 5

Agora, vamos montar a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^3 , dz , dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a $ z $:
z

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 r^3(2 - r) , dr , dtheta
Vamos expandir $ r^{3}(2 - r) $:
r^3(2 - r)
Então, a integral é:
2r^3 - r^4

Passo 7

Vamos integrar em relação a $ r $:
r
integral0^2 2r^3 , dr = 2 cdot r^44 g|0^2 = 24 cdot 16 = 8
Então:
integral0^2 r^4 , dr = r^55 g|0^2 = 325

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^2pi 85 , dtheta = 85 cdot theta g|0^2pi = 85 cdot 2pi = 16pi5

Resposta

O valor da integral tripla é $ \dfrac{16\pi}{5} $.

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