Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies
. (Obs.: Se
é o referido sólido, então seu volume pode ser obtido por
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pra calcular o volume de um sólido limitado por algumas superfícies: $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ y + x = 2 $, $ z = x^2 + y^2 $ e $ z = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente, integrais triplas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido que estamos analisando. As superfícies $ x = 0 $ e $ y = 0 $ são os planos coordenados, ou seja, os planos que definem os eixos $ y $ e $ x $ respectivamente. A equação $ y + x = 2 $ é uma reta no plano $ xy $ que intercepta os eixos nos pontos $ (2,0) $ e $ (0,2) $. Já $ z = x^2 + y^2 $ é uma paraboloide que se abre para cima, e $ z = 0 $ é o plano $ xy $.
Passo 3
Vamos determinar a região $ R $ no plano $ xy $ que vai servir de base para o nosso sólido. Essa região é delimitada pelas retas $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ y + x = 2 $. Isso forma um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (2,0) $ e $ (0,2) $.
Passo 4
Agora, precisamos configurar os limites de integração. Vamos integrar em ordem $ y $, depois $ x $ e finalmente $ z $. Para cada valor de $ x $ entre 0 e 2, $ y $ varia de 0 até $ 2 - x $. E para cada ponto $ (x, y) $ nessa região, $ z $ varia de 0 até $ x^2 + y^2 $.
Passo 5
Então, nosso volume $ V $ pode ser expresso como a integral tripla:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar agora em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, vamos simplificar e integrar em relação a $ x $:
Primeiro, expandindo $ x^2 (2 - x) $:
E expandindo $ (2 - x)^3 $:
Então, substituindo na integral:
Vamos combinar os termos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Agora, somamos todos os resultados:
Resposta
O volume do sólido é $ \dfrac{8}{3} $ unidades cúbicas.