Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x=0, y=0, y+x=2, z=x^2+y^2 e z=0. (Obs.: Se R é o referido sólido, então seu volume pode ser obtido por integral tripla(R) 1 d x d y d z )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pra calcular o volume de um sólido limitado por algumas superfícies: $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ y + x = 2 $, $ z = x^2 + y^2 $ e $ z = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente, integrais triplas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido que estamos analisando. As superfícies $ x = 0 $ e $ y = 0 $ são os planos coordenados, ou seja, os planos que definem os eixos $ y $ e $ x $ respectivamente. A equação $ y + x = 2 $ é uma reta no plano $ xy $ que intercepta os eixos nos pontos $ (2,0) $ e $ (0,2) $. Já $ z = x^2 + y^2 $ é uma paraboloide que se abre para cima, e $ z = 0 $ é o plano $ xy $.

Passo 3

Vamos determinar a região $ R $ no plano $ xy $ que vai servir de base para o nosso sólido. Essa região é delimitada pelas retas $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ y + x = 2 $. Isso forma um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (2,0) $ e $ (0,2) $.

Passo 4

Agora, precisamos configurar os limites de integração. Vamos integrar em ordem $ y $, depois $ x $ e finalmente $ z $. Para cada valor de $ x $ entre 0 e 2, $ y $ varia de 0 até $ 2 - x $. E para cada ponto $ (x, y) $ nessa região, $ z $ varia de 0 até $ x^2 + y^2 $.

Passo 5

Então, nosso volume $ V $ pode ser expresso como a integral tripla:
V
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Agora, nossa integral fica:
integralz=0^x^2 + y^2 1 , dz = [ z ]0^x^2 + y^2 = x^2 + y^2

Passo 7

Vamos integrar agora em relação a $ y $:
y
Calculando cada parte:
integraly=0^2 - x (x^2 + y^2) , dy = x^2 integral0^2 - x dy + integral0^2 - x y^2 , dy
x^2 integral0^2 - x dy = x^2 (2 - x)
Então, a integral se torna:
integral0^2 - x y^2 , dy = [ y^33 ]0^2 - x = (2 - x)^33

Passo 8

Agora, vamos simplificar e integrar em relação a $ x $:
Primeiro, expandindo $ x^2 (2 - x) $:
x
E expandindo $ (2 - x)^3 $:
x^2 (2 - x)
Então, substituindo na integral:
x^2 (2 - x) = 2x^2 - x^3
Vamos combinar os termos:
(2 - x)^3
Simplificando:
(2 - x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:
integral0^2 4x^2 , dx = [ 4x^33 ]0^2 = 323
integral0^2 -4x^33 , dx = -43 [ x^44 ]0^2 = -43 cdot 4 = -163
integral0^2 -4x , dx = [ -2x^2 ]0^2 = -8
integral0^2 83 , dx = 83 cdot 2 = 163
Agora, somamos todos os resultados:
V = 323 - 163 - 8 + 163 = 32 - 16 + 163 - 8 = 323 - 8 = 323 - 243 = 83

Resposta

O volume do sólido é $ \dfrac{8}{3} $ unidades cúbicas.

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