Calcule integral tripla x e^x^2+y^2+z^2 d V o E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1 que fica no primeiro octante

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaE x,e^x^2+y^2+z^2;dV,
onde E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2<=1 no primeiro octante ( x,y,z>=0).
O conteúdo envolvido é integração tripla em coordenadas esféricas, aproveitando a simetria da região e a forma e^x^2+y^2+z^2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas escolhemos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com Jacobiano rho^2sinphi.
Como estamos no primeiro octante e dentro da bola unitária, os limites são
0 <= rho <= 1, 0 <= phi <= tfracpi2, 0 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Substituindo no integrando:
x,e^x^2+y^2+z^2,dV = (rhosinphicostheta), e^rho^2, (rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta = rho^3e^rho^2sin^2phicostheta;drho,dphi,dtheta
Assim a integral separa-se:
integral triplaEcdots = l(integral0^1rho^3e^rho^2drhor) l(integral0^pi/2sin^2phi,dphir) l(integral0^pi/2costheta,dthetar)

Passo 4

Calculemos o integral radial
integral0^1rho^3e^rho^2drho
Fazendo u=rho^2, du=2rho,drho
rho^3drho = rho^2,rho,drho = u;du2,
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integral0^1rho^3e^rho^2drho =12integral0^1u,e^udu =12l[e^u(u-1)r]0^1 =12l[(ecdot0)-(1cdot(-1))r] =12

Passo 5

Agora os integrais angulares:
integral0^pi/2costheta,dtheta =l[sinthetar]0^pi/2 =1,
integral0^pi/2sin^2phi,dphi =12integral0^pi/2(1-cos2phi),dphi =12l[phi-tfracsin2phi2r]0^pi/2 =pi4

Passo 6

Multiplicando os três resultados:
integral triplaEx,e^x^2+y^2+z^2,dV =12;times;pi4;times;1 =pi8

Resposta

pi8

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