Resolva a integral dupla abaixo
\int_{D} \int \frac{x \cdot y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A
onde D=\left\{(x, y) \in \Re^{2} \mid 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 16, x \geq 0, y \geq 0\right\}.
  • Resposta : 20

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA
onde D é o quarto de coroa circular definido por
4 \le x^{2}+y^{2} \le 16,\quad x\ge0,\;y\ge0.
O conteúdo aqui é usar coordenadas polares para simplificar a região e a integranda. Lembramos que em coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e que a região D vira
2 \le r \le 4,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Em polares temos
x\,y^{2} = (r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2} = r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta,
e
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Logo a integranda fica
\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r} = r^{2}\cos\theta\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano r\,dr\,d\theta, o elemento de área traz mais um fator r, e a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{2}^{4}r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Separemos as integrais em r e \theta:
\int_{2}^{4}r^{3}\,dr \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta.
Calculando a parte radial:
\int_{2}^{4}r^{3}\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{2}^{4} = \frac{256 - 16}{4} = 60.
Para a parte angular, use u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{u=0}^{1}u^{2}\,du = \Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Multiplicando os dois resultados obtemos
60 \times \frac{1}{3} = 20.

Resposta

20

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