Resolva a integral dupla
\int_{D} \int x \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A
onde D=\left\{(x, y) \in \Re^{2} \mid 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 16, x \geq 0, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D} x\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA
onde D é o setor anular no 1º quadrante entre os círculos de raio 2 e 4. Como aparece \sqrt{x^2+y^2}, coordenadas polares são ideais, pois x^2+y^2=r^2 e o elemento de área vira r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e a região D fica
2 \le r \le 4,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo no integrando:
x\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA = (r\cos\theta)\,(r)\,(r\,dr\,d\theta) = r^{3}\cos\theta\;dr\,d\theta.
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\iint_{D} x\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{2}^{4} r^{3}\cos\theta\;dr\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar em produto de integrais:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta \;\times\; \int_{2}^{4}r^{3}\,dr.
Calculemos cada uma:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = 1,
\int_{2}^{4}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{2}^{4} = \frac{4^{4}-2^{4}}{4} = \frac{256-16}{4} = 60.

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais:
1 \times 60 = 60.

Resposta

60

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