Calcule a integral tripla exatamente:

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral0^2integralz- x^z+xintegral-1^sin xe^3x(5y+2z),dz,dy,dx
(trocando a ordem indicada para facilitar, mas mantendo os limites). O conteúdo é cálculo de integrais iteradas, usando integração em cada variável e depois integração por partes e identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro integramos em y, tratando x e z como constantes. Definimos
K(z,x)=integraly=z-x^y=z+x(5y+2z),dy
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral 5y,dy=52y^2, integral2z,dy=2z,y,
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K(z,x) =52l[(z+x)^2-(z-x)^2r]+2zl[(z+x)-(z-x)r] =10xz+4xz =14xz

Passo 3

Agora integramos em z:
integralz=-1^z=sin x14x z,dz =14xintegral-1^sin xz,dz =14xcdot(sin x)^2-(-1)^22 =7xl(sin^2x-1r) =-7xcos^2x
Assim a integral tripla vira
integral0^2-7xcos^2x,e^3x,dx

Passo 4

Usamos a identidade cos^2x=(1+cos2x)/2, de modo que
integral0^2xcos^2x,e^3x,dx =12l(underbraceintegral0^2x e^3x,dxA +underbraceintegral0^2x e^3xcos2x,dxBr)
Logo a integral original é
-7integral0^2xcos^2x,e^3x,dx =-72(A+B)

Passo 5

Calculamos
A=integral0^2x e^3x,dx
por partes ( u=x, dv=e^3xdx), obtendo
A =2e^63-13integral0^2e^3xdx =2e^63-e^6-19 =5e^6+19

Passo 6

Para
B=integral0^2x e^3xcos2x,dx
fazemos partes com u=x, dv=e^3xcos2x,dx. Sabe-se que
integral e^3xcos2x,dx =e^3x(3cos2x+2sin2x)13
Após aplicar partes e integrar o remanescente, chega-se a
B =e^6l(73cos4+40sin4r)+5169

Passo 7

Juntando tudo:
A+B =5e^6+19 +e^6l(73cos4+40sin4r)+5169,
e a integral original vale
-72l(A+Br)

Resposta

-72( 5e^6+19 +e^6l(73cos4+40sin4r)+5169 )

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