Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
(1+t^2) y^prime-t y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem separável
(1 + t^2),y' - t,y = 0
Conteúdo: equações diferenciais separáveis. Vamos reorganizar para separar as variáveis y e t.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y' e dividindo por 1+t^2:
y' = t1+t^2,y
Em seguida colocamos em forma separável:
y'y = t1+t^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral y'y,dt ;=; integral t1+t^2,dt
No lado esquerdo,
integral y'y,dt = lnl|yr|
No lado direito, fazemos a substituição u=1+t^2, du=2t,dt, obtendo
integral t1+t^2,dt = tfrac12integral duu = tfrac12lnl(1+t^2r)
Logo
lnl|yr| = tfrac12lnl(1+t^2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando para isolar y:
l|yr| = e^ln|y| = e^,tfrac12ln(1+t^2)+C = e^C,(1+t^2)^1/2
Chamando K = pm e^CinR, concluímos que a solução geral é
y(t) = K,(1+t^2)^1/2

Resposta

y(t) = Kraiz1+t^2, KinR

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