(a) Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+a y=0
para a>1, para a=1 e para a<1.
(b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y^prime prime+2 y^prime+a y=t e^-t sin (raiza-1 t)
para a>1.

Passo 1

O enunciado pede em (a) a solução geral da equação linear de coeficientes constantes
y'' + 2y' + a,y = 0
nos três casos a>1, a=1 e a<1. Em (b) pede, para a>1, uma forma adequada de solução particular da equação
y'' + 2y' + a,y = t e^-tsinl(raiza-1,tr)
O conteúdo usado será equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes indeterminados para a parte particular, levando em conta ressonância.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à homogênea:
r^2 + 2r + a = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot a = 4(1 - a)

Passo 3

Caso a>1: então De<a<0. Escrevemos omega = raiza-1 e as raízes são
r = -1 pm iomega
Logo a solução geral é
y(t) = e^-tl(C1cos(omega t) + C2sin(omega t)r)

Passo 4

Caso a=1: então De<a=0 e há raiz dupla r=-1. A solução geral é
y(t) = (C1 + C2,t),e^-t

Passo 5

Caso a<1: então De<a>0. Defina lambda = raiz1-a. As raízes são
r = -1 pm lambda,
e a solução geral é
y(t) = C1 e^(-1+lambda)t + C2 e^(-1-lambda)t

Passo 6

Para (b), a>1 e o termo não-homogêneo é
t,e^-tsin(omega t) com omega = raiza-1
Como e^-tsin(omega t) já aparece na homogênea, há ressonância de ordem 1 e o polinômio em t no lado direito tem grau 1. O palpite deve ser
yp(t) = e^-tl[(A t^2 + B t)cos(omega t) + (C t^2 + D t)sin(omega t)r],
com A,B,C,D indeterminados.

Resposta

(a)
  • Para a>1:
y(t) = e^-tl(C1cosl(raiza-1,tr) + C2sinl(raiza-1,tr)r)
  • Para a=1:
y(t) = (C1 + C2,t),e^-t
  • Para a<1: definindo lambda=raiz1-a,
y(t) = C1 e^(-1+lambda)t + C2 e^(-1-lambda)t
(b) Para a>1 e omega=raiza-1, uma forma adequada de solução particular é
yp(t) = e^-tl[(A t^2 + B t)cos(omega t) + (C t^2 + D t)sin(omega t)r]

Exercícios relacionados