Nos Exercícios de la 22, determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty 1n+2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^+infty 1n+2
ou seja, uma série numérica de termo geral an=1n+2. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em particular o teste da p-série e comparação com a série harmônica.

Passo 2

Lembramos que a p-série
sumn=1^+infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso temos
an=1n+2sim 1n(ntoinfty),
ou seja, comporta-se como uma p-série com p=1, e portanto tende a divergir, pois a harmônica clássica ( p=1) diverge.

Passo 3

Para ver isso de forma ainda mais direta, analisamos a soma parcial
SN=sumn=1^N1n+2 =sumk=3^N+21k =HN+2-l(1+tfrac12r),
onde Hm=sumk=1^m1k é o m-ésimo número harmônico. Sabe-se que
limmtoinftyHm=+infty,
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limNtoinftySN =limNtoinftyl(HN+2-tfrac32r) =+infty,
ou seja, as somas parciais crescem sem limite.

Resposta

A série diverge; não há soma finita.

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