Nos Exercícios de la 22, determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
ou seja, uma série numérica de termo geral
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em particular o teste da
-série e comparação com a série harmônica.
Passo 2
Lembramos que a
-série
converge se, e somente se,
. No nosso caso temos
ou seja, comporta-se como uma
-série com
, e portanto tende a divergir, pois a harmônica clássica (
) diverge.
Passo 3
Para ver isso de forma ainda mais direta, analisamos a soma parcial
onde
é o
-ésimo número harmônico. Sabe-se que
logo
ou seja, as somas parciais crescem sem limite.
Resposta
A série diverge; não há soma finita.