Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
Questão
Equação
Resposta
1
2
3
4
5
| Questão | Equação | Resposta |
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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Passo 1
Vou listar claramente os dados e o que cada item pede (cada equação foi enviada no enunciado):
- Questão 1: Resolver
Pede-se a solução geral
.
- Questão 2: Resolver
Pede-se a solução geral
.
- Questão 3: Resolver
Pede-se a solução geral
.
- Questão 4: Resolver
Pede-se a solução geral
.
- Questão 5: Resolver
Pede-se a solução geral
.
Informações úteis que foram dadas: cada equação é linear com coeficientes constantes e o enunciado pediu claramente para usar o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) para obter as soluções gerais.
Passo 2
Breve aula-prática sobre o método dos coeficientes a determinar (resumo e regras que vou aplicar passo a passo):
-
Para uma EDO linear com coeficientes constantes escrita como
, primeiro encontro a solução geral da equação homogênea . Para isso formo o polinômio característica (substituo ) e resolvo por suas raízes . Cada raiz real gera termo ; cada par complexo gera termos e ; multiplicidades geram fatores em (se raiz tem multiplicidade , aparecem termos , ). -
Para achar uma solução particular
da equação não homogênea , escolhe-se uma forma candidata para que seja da mesma “família” de : polinômio para polinômio, para exponencial, para funções trigonométricas, ou um produto desses caso seja produto. Essa forma contém coeficientes indeterminados a achar. -
Se a forma escolhida (ou parte dela) pertence ao espaço das soluções da homogênea (ou seja, o termo é solução da homogênea), multiplicar por
, onde é a multiplicidade da raiz correspondente da característica (por exemplo, se corresponde a raiz de multiplicidade , multiplica-se a tentativa por ) até eliminar a ressonância. -
Depois deriva-se a candidata
, substitui-se em , compara-se coeficientes das funções independentes (potências de , , , , etc.) e resolve-se o sistema linear para os coeficientes indeterminados. -
Observação prática que uso aqui: para termos do tipo
e operador que fatoriza em etc., há truques (por exemplo, ) que tornam os cálculos mais curtos; vou usar quando for conveniente.
Agora aplico o procedimento em cada questão, mostrando as contas detalhadas.
Passo 3
Questão 1: resolver
- Equação homogênea:
Polinômio característico
Então a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
- Escolha da forma de
: o termo do lado direito é , ou seja uma combinação de e com frequência . A tentativa padrão é
com
constantes a determinar. Não há ressonância aqui porque
(frequência 1) não coincide com
(frequência 5).
- Calcular derivadas:
- Substituir em
:
Queremos que isso seja igual a
. Logo:
Comparando coeficientes:
- Assim
- Solução geral:
Passo 4
Questão 2: resolver
- Equação homogênea:
Escrevo o polinômio característico:
As raízes são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
. Portanto a solução geral da homogênea é
com constantes
.
- Lado direito
é soma de uma exponencial (que ressoa com a raiz de multiplicidade ) e de uma constante (resonante com de multiplicidade ). Assim as tentativas particulares precisam ser multiplicadas por (multiplicidade ).
- Para
a tentativa é com polinômio de grau (pois multiplica polinômio de grau ); multiplicado por isso dá . - Para a constante
(polinômio deg ) a tentativa é .
Logo proponho
ou de forma combinada
- Calcular efeito do operador de forma eficiente: fatorizo o operador como
, onde . Para ,
Assim
Queremos que esta parte gere o termo constante do lado direito igual a
. Portanto
- Agora tratar
. Use o truque com : para vale ; aplicando obtemos . Em seguida aplicar dá
No nosso caso
. Então
. Logo
Este termo deve reproduzir o termo
do lado direito (coeficiente
), então
- Assim a solução particular completa é
- Solução geral:
Passo 5
Questão 3: resolver
- Equação homogênea:
Polinômio característico
. Raiz
dupla. Logo
- Forma de
: lado direito é soma de funções trigonométricas com frequências e . Como nenhuma dessas frequências coincide com a parte homogênea (que é exponencial real), não há ressonância. Proponho
- Vou usar a fórmula direta para o operador
aplicada a uma combinação . Calculando (mostrar o que cada termo significa):
- Para
,
Somando
e agrupando em
e
obtemos (coeficientes):
Vou aplicar isso para
e
separadamente.
- Parte
(termo ): para com as fórmulas dão
Queremos que isso iguale a
, ou seja coeficiente de
zero e coeficiente de
igual a
. Assim
Portanto a contribuição do primeiro termo é
.
- Parte
(termo ): para com os coeficientes são
Queremos que isso iguale
. Então o sistema é
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Multiplicando por
:
Então
-
Assim a contribuição do segundo termo é
. -
Somando as contribuições e a homogênea:
Passo 6
Questão 4: resolver
- Equação homogênea:
Polinômio característico
Raiz
de multiplicidade
. Então solução homogênea
- Separar o lado direito:
é soma de um polinômio e de . Para o polinômio (grau ) não há ressonância com (pois polinômio corresponde a raiz , que não é raiz do característico), então para essa parte uso tentativa .
Para
: aqui
corresponde à raiz
com multiplicidade
, logo multiplico por
. A tentativa será
(polinômio de grau
vezes
).
- Calcular
. Derivadas:
Substituir em
:
Queremos que isto corresponda à parte polinomial do lado direito, que é
. Assim
Logo
.
- Para
uso o truque : o operador à esquerda é , pois a expansão de é exatamente . Para vale . Aplicando três vezes obtemos . Com temos . Assim
Isto deve igualar a parte exponencial do lado direito, que é
. Logo
Assim
.
- Solução particular total:
- Solução geral:
Observação: é comum escrever os termos exponenciais agrupados; a forma acima corresponde exatamente à resposta esperada.
Passo 7
Questão 5: resolver
- Equação homogênea:
Observe que o polinômio característico é
As raízes são
, cada uma com multiplicidade
. Portanto a solução homogênea é formada por termos
e
, ou seja
- Lado direito
é um polinômio de grau . Como não é raiz do característico (as raízes são ), não há ressonância. Então proponho tentativa polinomial de grau :
- Calcular derivadas:
- Substituir em
:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes:
-
Portanto
. -
Solução geral: