Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
Questão Equação Resposta
1 y^{\prime \prime}+25 y=6 \operatorname{sen} x y=A \cos 5 x+B \operatorname{sen} 5 x+\frac{\operatorname{sen} x}{4}
2 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}-2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}+1 y=A+B x+C e^{x}+D x e^{x}+\frac{x^{2}}{2}\left(e^{x}+1\right)
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\operatorname{sen} x+3 \cos 2 x y=A e^{-x}+B x e^{-x}-\frac{\cos x}{2}+\frac{12 \operatorname{sen} 2 x}{25}-\frac{9 \cos 2 x}{25}
4 y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=x-4 e^{x} y=A e^{x}+B x e^{x}+C x^{2} e^{x}-x-3-\frac{2 x^{3} e^{x}}{3}
5 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=(x-1)^{2} y=A \cos x+B \operatorname{sen} x+C x \cos x+D x \operatorname{sen} x+x^{2}-2 x-3

Passo 1

Vou listar claramente os dados e o que cada item pede (cada equação foi enviada no enunciado):
  • Questão 1: Resolver
y''+25y=6\operatorname{sen}x.
Pede-se a solução geral y(x).
  • Questão 2: Resolver
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}-2\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=e^{x}+1.
Pede-se a solução geral y(x).
  • Questão 3: Resolver
y''+2y'+y=\operatorname{sen}x+3\cos2x.
Pede-se a solução geral y(x).
  • Questão 4: Resolver
y'''-3y''+3y'-y=x-4e^{x}.
Pede-se a solução geral y(x).
  • Questão 5: Resolver
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}+2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=(x-1)^{2}.
Pede-se a solução geral y(x).
Informações úteis que foram dadas: cada equação é linear com coeficientes constantes e o enunciado pediu claramente para usar o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) para obter as soluções gerais.

Passo 2

Breve aula-prática sobre o método dos coeficientes a determinar (resumo e regras que vou aplicar passo a passo):
  • Para uma EDO linear com coeficientes constantes escrita como L[y]=g(x), primeiro encontro a solução geral da equação homogênea L[y]=0. Para isso formo o polinômio característica (substituo y=e^{rx}) e resolvo por suas raízes r. Cada raiz real r gera termo e^{rx}; cada par complexo a\pm bi gera termos \mathrm{e}^{ax}\cos(bx) e \mathrm{e}^{ax}\sin(bx); multiplicidades geram fatores em x (se raiz r tem multiplicidade m, aparecem termos x^{k}e^{rx}, k=0,\dots,m-1).
  • Para achar uma solução particular y_p da equação não homogênea L[y]=g(x), escolhe-se uma forma candidata para y_p que seja da mesma “família” de g(x): polinômio para polinômio, e^{\alpha x} para exponencial, A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) para funções trigonométricas, ou um produto desses caso g seja produto. Essa forma contém coeficientes indeterminados a achar.
  • Se a forma escolhida (ou parte dela) pertence ao espaço das soluções da homogênea (ou seja, o termo é solução da homogênea), multiplicar por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente da característica (por exemplo, se e^{\alpha x} corresponde a raiz de multiplicidade m, multiplica-se a tentativa por x^{m}) até eliminar a ressonância.
  • Depois deriva-se a candidata y_p, substitui-se em L[y]=g(x), compara-se coeficientes das funções independentes (potências de x, \cos, \sin, e^{\alpha x}, etc.) e resolve-se o sistema linear para os coeficientes indeterminados.
  • Observação prática que uso aqui: para termos do tipo u(x)e^{\alpha x} e operador L que fatoriza em (D-\alpha)^{m} etc., há truques (por exemplo, (D-\alpha)[u(x)e^{\alpha x}]=u'(x)e^{\alpha x}) que tornam os cálculos mais curtos; vou usar quando for conveniente.
Agora aplico o procedimento em cada questão, mostrando as contas detalhadas.

Passo 3

Questão 1: resolver \,y''+25y=6\operatorname{sen}x.
  1. Equação homogênea:
y''+25y=0.
Polinômio característico \,r^{2}+25=0\Rightarrow r=\pm 5i. Então a solução geral da homogênea é
y_{h}=A\cos 5x+B\operatorname{sen}5x,
onde A,B são constantes arbitrárias.
  1. Escolha da forma de y_{p}: o termo do lado direito é 6\operatorname{sen}x, ou seja uma combinação de \cos x e \sin x com frequência \omega=1. A tentativa padrão é
y_{p}=a\cos x+b\operatorname{sen}x,
com a,b constantes a determinar. Não há ressonância aqui porque \pm i (frequência 1) não coincide com \pm 5i (frequência 5).
  1. Calcular derivadas:
y_{p}'=-a\operatorname{sen}x+b\cos x,
y_{p}''=-a\cos x-b\operatorname{sen}x=-(a\cos x+b\operatorname{sen}x)=-y_{p}.
  1. Substituir em \,y''+25y:
y_{p}''+25y_{p}=-y_{p}+25y_{p}=24y_{p}=24(a\cos x+b\operatorname{sen}x).
Queremos que isso seja igual a 6\operatorname{sen}x. Logo:
24a\cos x+24b\operatorname{sen}x=0\cdot\cos x+6\operatorname{sen}x.
Comparando coeficientes:
24a=0\Rightarrow a=0,\qquad 24b=6\Rightarrow b=\frac{1}{4}.
  1. Assim
y_{p}=\frac{1}{4}\operatorname{sen}x.
  1. Solução geral:
y(x)=A\cos 5x+B\operatorname{sen}5x+\frac{\operatorname{sen}x}{4}.

Passo 4

Questão 2: resolver \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}-2\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=e^{x}+1.
  1. Equação homogênea:
y^{(4)}-2y^{(3)}+y''=0.
Escrevo o polinômio característico:
r^{4}-2r^{3}+r^{2}=r^{2}(r^{2}-2r+1)=r^{2}(r-1)^{2}.
As raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=1 com multiplicidade 2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=A+Bx+Ce^{x}+Dxe^{x},
com constantes A,B,C,D.
  1. Lado direito g(x)=e^{x}+1 é soma de uma exponencial e^{x} (que ressoa com a raiz r=1 de multiplicidade 2) e de uma constante 1 (resonante com r=0 de multiplicidade 2). Assim as tentativas particulares precisam ser multiplicadas por x^{2} (multiplicidade 2).
  • Para e^{x} a tentativa é u(x)e^{x} com u(x) polinômio de grau 0 (pois e^{x} multiplica polinômio de grau 0); multiplicado por x^{2} isso dá Kx^{2}e^{x}.
  • Para a constante 1 (polinômio deg 0) a tentativa é Ax^{2}.
Logo proponho
y_{p}=\frac{k}{?}\text{(vou usar }Kx^{2}e^{x})\quad\text{e}\quad y_{p2}=Ax^{2},
ou de forma combinada
y_{p}=Kx^{2}e^{x}+Ax^{2}.
  1. Calcular efeito do operador de forma eficiente: fatorizo o operador como D^{2}(D-1)^{2}, onde D=\dfrac{d}{dx}. Para y_{p2}=Ax^{2},
y_{p2}''=2A,\quad y_{p2}'''\!=0,\quad y_{p2}^{(4)}\!=0.
Assim
y_{p2}^{(4)}-2y_{p2}'''+y_{p2}''=0-0+2A=2A.
Queremos que esta parte gere o termo constante do lado direito igual a 1. Portanto 2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  1. Agora tratar y_{p1}=Kx^{2}e^{x}. Use o truque com (D-1): para y=u(x)e^{x} vale (D-1)[u e^{x}]=u' e^{x}; aplicando (D-1)^{2} obtemos u''e^{x}. Em seguida aplicar D^{2}
L[y]=D^{2}(D-1)^{2}[u e^{x}]=D^{2}[u''e^{x}]=\bigl(u''''+2u'''+u''\bigr)e^{x}.
No nosso caso u(x)=Kx^{2}. Então u'=2Kx,\;u''=2K,\;u'''=0,\;u''''=0. Logo
L[Kx^{2}e^{x}]=(0+0+2K)e^{x}=2K e^{x}.
Este termo deve reproduzir o termo e^{x} do lado direito (coeficiente 1), então 2K=1\Rightarrow K=\tfrac{1}{2}.
  1. Assim a solução particular completa é
y_{p}=\frac{x^{2}}{2}e^{x}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}\bigl(e^{x}+1\bigr).
  1. Solução geral:
y(x)=A+Bx+Ce^{x}+Dxe^{x}+\frac{x^{2}}{2}\bigl(e^{x}+1\bigr).

Passo 5

Questão 3: resolver \,y''+2y'+y=\operatorname{sen}x+3\cos2x.
  1. Equação homogênea:
y''+2y'+y=0.
Polinômio característico \,r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}. Raiz r=-1 dupla. Logo
y_{h}=(A+Bx)e^{-x}.
  1. Forma de y_{p}: lado direito é soma de funções trigonométricas com frequências 1 e 2. Como nenhuma dessas frequências coincide com a parte homogênea (que é exponencial real), não há ressonância. Proponho
y_{p}=a\cos x+b\operatorname{sen}x+c\cos2x+d\operatorname{sen}2x.
  1. Vou usar a fórmula direta para o operador L[y]=y''+2y'+y aplicada a uma combinação P\cos\omega x+Q\sin\omega x. Calculando (mostrar o que cada termo significa):
  • Para y=P\cos\omega x+Q\sin\omega x,
y'=-\omega P\sin\omega x+\omega Q\cos\omega x,
y''=-\omega^{2}P\cos\omega x-\omega^{2}Q\sin\omega x.
Somando y''+2y'+y e agrupando em \cos e \sin obtemos (coeficientes):
\text{coeficientes em }\cos\omega x:\quad(1-\omega^{2})P+2\omega Q,
\text{coeficientes em }\sin\omega x:\quad(1-\omega^{2})Q-2\omega P.
Vou aplicar isso para \omega=1 e \omega=2 separadamente.
  1. Parte \omega=1 (termo \operatorname{sen}x): para P\cos x+Q\sin x com \omega=1 as fórmulas dão
\cos\!x:\\ (1-1)P+2\cdot1\cdot Q=2Q,
\sin\!x:\\ (1-1)Q-2\cdot1\cdot P=-2P.
Queremos que isso iguale a 1\cdot\operatorname{sen}x, ou seja coeficiente de \cos x zero e coeficiente de \sin x igual a 1. Assim
2Q=0\Rightarrow Q=0,\qquad -2P=1\Rightarrow P=-\frac{1}{2}.
Portanto a contribuição do primeiro termo é -\tfrac{1}{2}\cos x.
  1. Parte \omega=2 (termo 3\cos2x): para P\cos2x+Q\sin2x com \omega=2 os coeficientes são
\cos2x:\\ (1-4)P+2\cdot2 Q=-3P+4Q,
\sin2x:\\ (1-4)Q-2\cdot2 P=-3Q-4P.
Queremos que isso iguale 3\cos2x+0\sin2x. Então o sistema é
-3P+4Q=3,
-3Q-4P=0.
Da segunda equação -3Q=4P\Rightarrow Q=-\dfrac{4}{3}P. Substituindo na primeira:
-3P+4\left(-\frac{4}{3}P\right)=3\quad\Rightarrow\quad -3P-\frac{16}{3}P=3.
Multiplicando por 3:
-9P-16P=9\Rightarrow -25P=9\Rightarrow P=-\frac{9}{25}.
Então
Q=-\frac{4}{3}P=-\frac{4}{3}\left(-\frac{9}{25}\right)=\frac{36}{75}=\frac{12}{25}.
  1. Assim a contribuição do segundo termo é -\dfrac{9}{25}\cos2x+\dfrac{12}{25}\sin2x.
  2. Somando as contribuições e a homogênea:
y(x)=(A+Bx)e^{-x}-\frac{\cos x}{2}+\frac{12}{25}\operatorname{sen}2x-\frac{9}{25}\cos2x.

Passo 6

Questão 4: resolver \,y'''-3y''+3y'-y=x-4e^{x}.
  1. Equação homogênea:
y'''-3y''+3y'-y=0.
Polinômio característico \,r^{3}-3r^{2}+3r-1=(r-1)^{3}. Raiz r=1 de multiplicidade 3. Então solução homogênea
y_{h}=(A+Bx+Cx^{2})e^{x}.
  1. Separar o lado direito: g(x)=x-4e^{x} é soma de um polinômio x e de -4e^{x}. Para o polinômio x (grau 1) não há ressonância com r=1 (pois polinômio corresponde a raiz r=0, que não é raiz do característico), então para essa parte uso tentativa y_{p1}=ax+b.
Para -4e^{x}: aqui e^{x} corresponde à raiz r=1 com multiplicidade 3, logo multiplico por x^{3}. A tentativa será y_{p2}=Kx^{3}e^{x} (polinômio de grau 0 vezes x^{3}e^{x}).
  1. Calcular y_{p1}=ax+b. Derivadas:
y'_{p1}=a,\quad y''_{p1}=0,\quad y'''_{p1}=0.
Substituir em L[y]=y'''-3y''+3y'-y:
L[y_{p1}]=0-0+3a-(ax+b)=-ax+(3a-b).
Queremos que isto corresponda à parte polinomial do lado direito, que é x. Assim
- a = 1\Rightarrow a=-1,\qquad 3a-b=0\Rightarrow 3(-1)-b=0\Rightarrow b=-3.
Logo y_{p1}=-x-3.
  1. Para y_{p2}=Kx^{3}e^{x} uso o truque (D-1)^{3}: o operador à esquerda é L=(D-1)^{3}, pois a expansão de (D-1)^{3} é exatamente D^{3}-3D^{2}+3D-1. Para y=u(x)e^{x} vale (D-1)[u e^{x}]=u' e^{x}. Aplicando três vezes obtemos (D-1)^{3}[u e^{x}]=u^{(3)}e^{x}. Com u(x)=Kx^{3} temos u^{(3)}=6K. Assim
L[Kx^{3}e^{x}]=6K e^{x}.
Isto deve igualar a parte exponencial do lado direito, que é -4e^{x}. Logo
6K=-4\Rightarrow K=-\frac{2}{3}.
Assim y_{p2}=-\dfrac{2}{3}x^{3}e^{x}.
  1. Solução particular total:
y_{p}=-x-3-\frac{2}{3}x^{3}e^{x}.
  1. Solução geral:
y(x)=(A+Bx+Cx^{2})e^{x}-x-3-\frac{2}{3}x^{3}e^{x}.
Observação: é comum escrever os termos exponenciais agrupados; a forma acima corresponde exatamente à resposta esperada.

Passo 7

Questão 5: resolver \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+2\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=(x-1)^{2}.
  1. Equação homogênea:
y^{(4)}+2y''+y=0.
Observe que o polinômio característico é
r^{4}+2r^{2}+1=(r^{2}+1)^{2}.
As raízes são r=\pm i, cada uma com multiplicidade 2. Portanto a solução homogênea é formada por termos \cos x,\sin x e x\cos x,x\sin x, ou seja
y_{h}=A\cos x+B\operatorname{sen}x+Cx\cos x+Dx\operatorname{sen}x.
  1. Lado direito (x-1)^{2} é um polinômio de grau 2. Como r=0 não é raiz do característico (as raízes são \pm i), não há ressonância. Então proponho tentativa polinomial de grau 2:
y_{p}=ax^{2}+bx+c.
  1. Calcular derivadas:
y_{p}'=2ax+b,\quad y_{p}''=2a,\quad y_{p}'''=0,\quad y_{p}^{(4)}=0.
  1. Substituir em y^{(4)}+2y''+y:
0+2(2a)+(ax^{2}+bx+c)=ax^{2}+bx+(c+4a).
Queremos que isso seja igual a (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Igualando coeficientes:
\text{coef }x^{2}:\quad a=1,
\text{coef }x:\quad b=-2,
\text{constante}:\quad c+4a=1\Rightarrow c+4=1\Rightarrow c=-3.
  1. Portanto y_{p}=x^{2}-2x-3.
  2. Solução geral:
y(x)=A\cos x+B\operatorname{sen}x+Cx\cos x+Dx\operatorname{sen}x+x^{2}-2x-3.

Resposta

y=A\cos5x+B\operatorname{sen}5x+\dfrac{\operatorname{sen}x}{4}
y=A+Bx+Ce^{x}+Dxe^{x}+\dfrac{x^{2}}{2}\bigl(e^{x}+1\bigr)
y=(A+Bx)e^{-x}-\dfrac{\cos x}{2}+\dfrac{12\operatorname{sen}2x}{25}-\dfrac{9\cos2x}{25}
y=(A+Bx+Cx^{2})e^{x}-x-3-\dfrac{2x^{3}e^{x}}{3}
y=A\cos x+B\operatorname{sen}x+Cx\cos x+Dx\operatorname{sen}x+x^{2}-2x-3

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