Calcule a integral tripla da função \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{z} sobre a região sólida delimitada por
z=0 \text { e } z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \text { e } x^{2}+y^{2} \leq 4 \text {. }

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{V} z\,dV
onde V é a região em \mathbb{R}^3 limitada por
z=0,\quad z=\sqrt{x^2+y^2},\quad x^2+y^2\le4.
Este é um problema de integração em coordenadas cilíndricas, pois a descrição da região é radial em x,y.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Naquelas coordenadas a região V fica descrita por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0\le r\le 2,\quad 0\le z\le r.

Passo 4

A integral vira
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2}\!\int_{z=0}^{r} z\,(r)\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{r} z\,dz = \frac{r^2}{2},
logo a integral interna fica
\int_{0}^{r} z\,r\,dz = r\cdot\frac{r^2}{2} = \frac{r^3}{2}.

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{2} \frac{r^3}{2}\,dr = \frac{1}{2}\,\int_{0}^{2} r^3\,dr = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{r^4}{4}\biggr]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{4} =2.

Passo 6

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\cdot2\pi = 4\pi.

Resposta

O valor da integral tripla é 4\pi.

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