Calcule a integral de linha
onde C é o segmento de reta de
até
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é o segmento de reta de
até
. Isso é uma integral de linha de um campo vetorial
com
Para resolver, vamos usar o fato de que, se o campo for conservativo, podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha usando uma potencial.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando
Temos
Como
, o campo é conservativo e existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Derivando em relação a
e igualando a
:
Assim
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Calculando:
Logo a integral vale
.