Calcule a integral de linha
\int_{C}\left(3 x^{2}+y\right) d x+\left(3 y^{2}+x\right) d y
onde C é o segmento de reta de (0,0) até (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\bigl(3x^{2}+y\bigr)\,dx + \bigl(3y^{2}+x\bigr)\,dy
onde C é o segmento de reta de (0,0) até (1,1). Isso é uma integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=3x^{2}+y, \quad Q(x,y)=x+3y^{2}.
Para resolver, vamos usar o fato de que, se o campo for conservativo, podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha usando uma potencial.

Passo 2

Verificamos se \mathbf{F} é conservativo calculando
\frac{\partial P}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}.
Temos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+y)=1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x+3y^{2})=1.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, o campo é conservativo e existe uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 3

Para achar f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int (3x^{2}+y)\,dx =x^{3}+xy + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Derivando em relação a y e igualando a Q:
\frac{\partial f}{\partial y} =x + g'(y) \overset{!}{=} x + 3y^{2} \;\Longrightarrow\; g'(y)=3y^{2} \;\Longrightarrow\; g(y)=y^{3}.
Assim
f(x,y)=x^{3}+xy+y^{3}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f\bigl(1,1\bigr)-f\bigl(0,0\bigr).
Calculando:
f(1,1)=1^{3}+1\cdot1+1^{3}=3, \quad f(0,0)=0.
Logo a integral vale 3.

Resposta

3

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