Se W=[1,4] \times[1,5] \times[0,6] e f(x, y, z)=1, calcule:
\iiint_{W} f(x, y, z) d V

Passo 1

O enunciado dá a região
W = [1,4]\times[1,5]\times[0,6]
que é um paralelepípedo retangular, e a função f(x,y,z)=1. O que precisamos é calcular
\iiint_{W}1\,dV,
isto é, a integral tripla de uma constante sobre uma região, que geometricamente equivale ao volume de W.

Passo 2

Escrevemos a integral tripla como uma integral iterada nos limites dados:
\iiint_{W}1\,dV =\int_{x=1}^{4}\int_{y=1}^{5}\int_{z=0}^{6}1\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{6}1\,dz = 6.
Logo a integral passa a ser
\int_{x=1}^{4}\int_{y=1}^{5}6\,dy\,dx.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=1}^{5}6\,dy = 6\,(5-1) = 24.
E ficamos com
\int_{x=1}^{4}24\,dx.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{x=1}^{4}24\,dx = 24\,(4-1) = 72.

Resposta

O valor da integral é 72.

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