Calcule o volume do sólido limitado pelos planos z=0, z=0, x+y=3 e z=4-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, no primeiro quadrante, é limitado inferiormente por \,z=0, superiormente pela superfície \,z=4 - x^2 e lateralmente pelo plano \,x + y = 3 (além dos planos coordenados x=0 e y=0). O conteúdo aqui é a aplicação de integração dupla para volume, projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

Determinamos a região de projeção D no plano xy. Como estamos no primeiro quadrante e abaixo de x+y=3,
D = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\;0 \le y \le 3 - x\bigr\}.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{topo}} - z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA = \iint_{D} \bigl(4 - x^2 - 0\bigr)\,dA = \iint_{D} \bigl(4 - x^2\bigr)\,dA.

Passo 4

Escrevemos a integral iterada sobre D:
V = \int_{x=0}^{3} \int_{y=0}^{3-x} \bigl(4 - x^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{y=0}^{3-x} \bigl(4 - x^2\bigr)\,dy = \bigl(4 - x^2\bigr)\,\bigl[(3 - x) - 0\bigr] = (4 - x^2)\,(3 - x).

Passo 6

Expandimos e integramos em x:
(4 - x^2)(3 - x) = 12 - 4x - 3x^2 + x^3,
V = \int_{0}^{3} \bigl(12 - 4x - 3x^2 + x^3\bigr)\,dx = \Bigl[\,12x - 2x^2 - x^3 + \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(36 - 18 - 27 + \tfrac{81}{4}\bigr) = \tfrac{45}{4}.

Resposta

V = \frac{45}{4}.

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