Calcule a integral tripla
\iiint_{E}(x+y+z) d V,
em que E=[0,1] \times[0,2] \times[1,4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV,
onde E é o paralelepípedo dado por
E = [0,1]\times[0,2]\times[1,4].
Informações relevantes:
  • O domínio E é um produto de intervalos: x\in[0,1], y\in[0,2], z\in[1,4].
  • A função a integrar é a soma x+y+z.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral tripla sobre esse domínio.

Passo 2

Conceitos e estratégia (explicação didática):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV = \iiint_{E}x\,dV+\iiint_{E}y\,dV+\iiint_{E}z\,dV.
Isto simplifica muito: podemos calcular três integrais mais simples e somar.
  • Teorema de Fubini (versão para caixas retangulares): em um domínio do tipo produto de intervalos, podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada (integrar em uma variável por vez). Por exemplo,
\iiint_{E}x\,dV = \int_{z=1}^{4}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1} x\,dx\,dy\,dz.
  • Fórmulas básicas de primitivas que usaremos:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2},\qquad \int z\,dz = \frac{z^{2}}{2}.
Vou aplicar essas ideias para calcular cada uma das três integrais separadamente.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \iiint_{E}x\,dV.
Escrevendo como integral iterada:
\iiint_{E}x\,dV = \int_{z=1}^{4}\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1} x\,dx\,dy\,dz.
Primeiro calcule a integral em x:
\int_{x=0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2}.
Agora as integrais em y e z são de constantes (resultante \tfrac{1}{2}):
\int_{y=0}^{2} \frac{1}{2}\,dy = \frac{1}{2}\cdot(2-0)=1,
\int_{z=1}^{4} 1\,dz = 4-1=3.
Multiplicando (ou pensando nas etapas juntas):
\iiint_{E}x\,dV = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 = 3.
Observação rápida: isso corresponde a (\int_{0}^{1} x\,dx)\times(\int_{0}^{2} dy)\times(\int_{1}^{4} dz) por separabilidade quando a variável aparece só em um fator.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \iiint_{E}y\,dV.
Escrevendo como integral iterada (troquei a ordem para deixar y na integral interna):
\iiint_{E}y\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{z=1}^{4}\int_{y=0}^{2} y\,dy\,dz\,dx.
Calcule a integral em y:
\int_{y=0}^{2} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{4}{2}=2.
As integrais restantes são sobre constantes:
\int_{z=1}^{4} 2\,dz = 2\cdot(4-1)=6,
\int_{x=0}^{1} 6\,dx = 6\cdot(1-0)=6.
Portanto
\iiint_{E}y\,dV = 6.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \iiint_{E}z\,dV.
Escrevendo como integral iterada (deixando z na integral interna):
\iiint_{E}z\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=1}^{4} z\,dz\,dy\,dx.
Calcule a integral em z:
\int_{z=1}^{4} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{1}^{4} = \frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.
As integrais restantes multiplicam essa constante:
\int_{y=0}^{2} \frac{15}{2}\,dy = \frac{15}{2}\cdot 2 = 15,
\int_{x=0}^{1} 15\,dx = 15\cdot 1 = 15.
Logo
\iiint_{E}z\,dV = 15.

Passo 6

Soma das três parcelas (pela linearidade vista no Passo 2):
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV = \iiint_{E}x\,dV + \iiint_{E}y\,dV + \iiint_{E}z\,dV = 3 + 6 + 15 = 24.

Resposta

24

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