Calcule o volume da região no primeiro octante que está abaixo do plano x+y+2 z=4.

Passo 1

O enunciado dá uma região do espaço limitada pelo plano x+y+2z=4 e pede o volume dessa região que está no primeiro octante. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é x+y+2z=4.
  • “Primeiro octante” significa que x\ge 0, y\ge 0 e z\ge 0.
  • Pergunta: calcular o volume da região que satisfaz simultaneamente x\ge0, y\ge0, z\ge0 e está abaixo (ou sobre) o plano x+y+2z=4.

Passo 2

Ideia básica (sem ainda executar contas): o volume de uma região R no espaço pode ser escrito como a integral tripla
\text{Volume}=\iiint_{R} 1\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (pequeno cubinho). Vou montar essa integral escolhendo uma ordem de integração que deixe os limites simples.

Passo 3

Primeiro, escrevo o plano isolando z para obter o limite superior em z:
x+y+2z=4 \quad\Longrightarrow\quad 2z=4-x-y \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{4-x-y}{2}.
Como estamos no primeiro octante, também temos z\ge 0. Isso implica
\frac{4-x-y}{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 4-x-y\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x+y\le 4.
Portanto, a projeção da região R no plano xy é o triângulo definido por x\ge0, y\ge0, x+y\le4 — triângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,4).

Passo 4

Escolho a ordem de integração dz\,dy\,dx. Assim, para cada ponto (x,y) na projeção triangular, z varia de 0 até \dfrac{4-x-y}{2}. Para os limites em y e x podemos tomar x de 0 a 4 e, para cada x, y de 0 a 4-x. Então a integral do volume fica
V=\int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{4-x}\int_{z=0}^{\frac{4-x-y}{2}} 1\,dz\,dy\,dx.
Explico rapidamente: x vai de 0 a 4 porque o triângulo na projeção tem x-intercept 4; para cada x fixo, y vai até a reta y=4-x; para cada par (x,y) dentro do triângulo, z vai de 0 até a superfície dada pela expressão anterior.

Passo 5

Faço a integração interna em z:
\int_{z=0}^{\frac{4-x-y}{2}} 1\,dz = \left. z \right|_{0}^{\frac{4-x-y}{2}} = \frac{4-x-y}{2}.
Portanto a integral dupla sobre x e y fica
V=\int_{0}^{4}\int_{0}^{4-x} \frac{4-x-y}{2}\,dy\,dx.

Passo 6

Faço agora a integração em y. Primeiro fator comum \dfrac{1}{2}:
\int_{0}^{4-x} \frac{4-x-y}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{4-x} (4-x-y)\,dy.
Calculo a integral à direita:
\int_{0}^{4-x} (4-x-y)\,dy = \left[(4-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4-x}.
Avalio em y=4-x:
(4-x)(4-x)-\frac{(4-x)^{2}}{2} = (4-x)^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{(4-x)^{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\cdot\frac{(4-x)^{2}}{2}=\frac{(4-x)^{2}}{4}.
Logo a integral reduz-se a uma única integral em x:
V=\int_{0}^{4} \frac{(4-x)^{2}}{4}\,dx.

Passo 7

Agora calculo a integral em x. Primeiro posso colocar o fator constante fora:
V=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} (4-x)^{2}\,dx.
Expando ou uso substituição. Expandindo:
(4-x)^{2}=x^{2}-8x+16.
Então
\int_{0}^{4} (4-x)^{2}\,dx = \int_{0}^{4} (x^{2}-8x+16)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-4x^{2}+16x\right]_{0}^{4}.
Avalio em x=4:
\frac{4^{3}}{3}-4\cdot 4^{2}+16\cdot 4 = \frac{64}{3}-64+64=\frac{64}{3}.
Portanto
V=\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{3}=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}.

Passo 8

Checagem geométrica rápida (intuitiva): o plano intercepta os eixos em x=4 (quando y=z=0), y=4 (quando x=z=0) e z=2 (quando x=y=0). A região no primeiro octante sob esse plano é um tetraedro com vértices (0,0,0), (4,0,0), (0,4,0), (0,0,2). O volume de um tetraedro com interceptos a,b,c na forma x/a+y/b+z/c=1 é \dfrac{abc}{6}. Aqui a=4, b=4, c=2, então
V=\frac{4\cdot 4\cdot 2}{6}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3},
o que confirma o resultado da integral.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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