Calcule o volume da região no primeiro octante que está abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado dá uma região do espaço limitada pelo plano
e pede o volume dessa região que está no primeiro octante. Informações relevantes fornecidas:
- A equação do plano é
. - “Primeiro octante” significa que
, e . - Pergunta: calcular o volume da região que satisfaz simultaneamente
, , e está abaixo (ou sobre) o plano .
Passo 2
Ideia básica (sem ainda executar contas): o volume de uma região
no espaço pode ser escrito como a integral tripla
Aqui
é o elemento de volume (pequeno cubinho). Vou montar essa integral escolhendo uma ordem de integração que deixe os limites simples.
Passo 3
Primeiro, escrevo o plano isolando
para obter o limite superior em
:
Como estamos no primeiro octante, também temos
. Isso implica
Portanto, a projeção da região
no plano
é o triângulo definido por
,
,
— triângulo com vértices
,
,
.
Passo 4
Escolho a ordem de integração
. Assim, para cada ponto
na projeção triangular,
varia de
até
. Para os limites em
e
podemos tomar
de
a
e, para cada
,
de
a
. Então a integral do volume fica
Explico rapidamente:
vai de
a
porque o triângulo na projeção tem
-intercept
; para cada
fixo,
vai até a reta
; para cada par
dentro do triângulo,
vai de
até a superfície dada pela expressão anterior.
Passo 5
Faço a integração interna em
:
Portanto a integral dupla sobre
e
fica
Passo 6
Faço agora a integração em
. Primeiro fator comum
:
Calculo a integral à direita:
Avalio em
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Logo a integral reduz-se a uma única integral em
:
Passo 7
Agora calculo a integral em
. Primeiro posso colocar o fator constante fora:
Expando ou uso substituição. Expandindo:
Então
Avalio em
:
Portanto
Passo 8
Checagem geométrica rápida (intuitiva): o plano intercepta os eixos em
(quando
),
(quando
) e
(quando
). A região no primeiro octante sob esse plano é um tetraedro com vértices
,
,
,
. O volume de um tetraedro com interceptos
na forma
é
. Aqui
,
,
, então
o que confirma o resultado da integral.