( 1,0 - ponto) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Temos
diretores e gerentes. - Vamos formar comissões de
pessoas. - A condição é: a comissão deve conter, no mínimo, um diretor.
- A pergunta: quantas comissões de
pessoas satisfazem essa condição?
Passo 2
Conceito que vamos usar: combinação. Quando queremos escolher
elementos de um conjunto com
elementos sem considerar ordem, usamos a combinação
, lida “n escolhe k”. A fórmula é
onde
(fatorial) significa
. Ex.:
.
Explicação intuitiva:
conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher
pessoas entre
quando a ordem não importa — exatamente o que precisamos para formar comissões.
Passo 3
Escolha do método: vou usar contagem complementar porque é rápido e simples aqui. Ideia da contagem complementar: contar todas as comissões possíveis (sem restrição) e subtrair as comissões que violam a condição (no nosso caso, as comissões com zero diretores). Esse método evita somar vários casos separados e reduz erro.
Passo 4
Calcular o total de comissões de
pessoas sem restrição, escolhendo entre todas as
pessoas (
diretores +
gerentes). Isso é
Podemos calcular
usando a identidade
(porque
) ou direto pela fórmula:
Portanto, sem restrição há
comissões possíveis.
Passo 5
Calcular quantas comissões têm zero diretores (ou seja, só gerentes). Para isso precisamos escolher
pessoas entre os
gerentes:
Interpretação: só há uma maneira de escolher todos os
gerentes — a comissão formada apenas pelos
gerentes.
Passo 6
Aplicar a contagem complementar: número de comissões com pelo menos um diretor é
Então o resultado é
.
Passo 7
(Verificação alternativa — soma por casos) Podemos também somar os casos com exatamente
,
ou
diretores para conferir:
Calcule cada termo:
Somando:
, confirma o resultado obtido pela contagem complementar.
Resposta
55