( 1,0 - ponto) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Temos 3 diretores e 5 gerentes.
  • Vamos formar comissões de 5 pessoas.
  • A condição é: a comissão deve conter, no mínimo, um diretor.
  • A pergunta: quantas comissões de 5 pessoas satisfazem essa condição?

Passo 2

Conceito que vamos usar: combinação. Quando queremos escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem considerar ordem, usamos a combinação \binom{n}{k}, lida “n escolhe k”. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Ex.: 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Explicação intuitiva: \binom{n}{k} conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher k pessoas entre n quando a ordem não importa — exatamente o que precisamos para formar comissões.

Passo 3

Escolha do método: vou usar contagem complementar porque é rápido e simples aqui. Ideia da contagem complementar: contar todas as comissões possíveis (sem restrição) e subtrair as comissões que violam a condição (no nosso caso, as comissões com zero diretores). Esse método evita somar vários casos separados e reduz erro.

Passo 4

Calcular o total de comissões de 5 pessoas sem restrição, escolhendo entre todas as 8 pessoas ( 3 diretores + 5 gerentes). Isso é
\binom{8}{5}.
Podemos calcular \binom{8}{5} usando a identidade \binom{8}{5}=\binom{8}{3} (porque \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}) ou direto pela fórmula:
\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Portanto, sem restrição há 56 comissões possíveis.

Passo 5

Calcular quantas comissões têm zero diretores (ou seja, só gerentes). Para isso precisamos escolher 5 pessoas entre os 5 gerentes:
\binom{5}{5}=1.
Interpretação: só há uma maneira de escolher todos os 5 gerentes — a comissão formada apenas pelos 5 gerentes.

Passo 6

Aplicar a contagem complementar: número de comissões com pelo menos um diretor é
\binom{8}{5}-\binom{5}{5}=56-1=55.
Então o resultado é 55.

Passo 7

(Verificação alternativa — soma por casos) Podemos também somar os casos com exatamente 1, 2 ou 3 diretores para conferir:
\binom{3}{1}\binom{5}{4}+\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}.
Calcule cada termo:
\binom{3}{1}\binom{5}{4}=3\cdot5=15,
\binom{3}{2}\binom{5}{3}=3\cdot10=30,
\binom{3}{3}\binom{5}{2}=1\cdot10=10.
Somando: 15+30+10=55, confirma o resultado obtido pela contagem complementar.

Resposta

55

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