Pêndulo simples não-linear:
período exato de um pêndulo simples para grandes amplitudes é dado pela fórmula:
onde
é a amplitude angular máxima,
o comprimento do pêndulo e
a aceleração da gravidade.
Problema:
i. Use a aproximação de Taylor para
quando
é pequeno para mostrar que para pequenas amplitudes
, o período se reduz à fórmula clássica:
ii. Para ângulos pequenos mas não nulos, encontre a primeira correção ao período mostrando que:
Passo 1
O enunciado dá a expressão exata do período do pêndulo simples para grandes amplitudes:
onde
é a amplitude angular máxima,
é o comprimento do pêndulo e
é a aceleração da gravidade.
As perguntas são:
i. Mostrar que, quando (pequenas amplitudes), o período reduz-se à fórmula clássica
.
ii. Para ângulos pequenos mas não nulos, encontrar a primeira correção ao período e mostrar que .
As perguntas são:
i. Mostrar que, quando
ii. Para ângulos pequenos mas não nulos, encontrar a primeira correção ao período e mostrar que
Passo 2
Lembrete (ferramenta principal): a expansão em série de Taylor de
em torno de
é
onde
significa termos da ordem de
ou maiores quando
. Para ângulos pequenos usamos a aproximação de primeira ordem
que é simplesmente manter o primeiro termo da série.
Passo 3
Aplicando a aproximação
ao argumento
, obtemos
Como
, então
e
ainda mais rápido.
Passo 4
Substituindo esses limites na expressão do período, o parêntese multiplica
e tende a
:
Portanto, no limite de pequenas amplitudes:
Isto responde a parte (i).
Passo 5
Agora a parte (ii): queremos a primeira correção para
pequeno mas não nulo. Usamos a aproximação mais precisa apenas o quanto basta para obter o termo em
. Começamos por aproximar
. Usando
com
, temos
Ou seja, o termo principal em ordem baixa é
; os demais são da ordem
ou maiores.
Passo 6
Substituímos essa aproximação no parenteses da fórmula do período, mantendo apenas termos até
(portanto descartando
e termos de ordem
):
Calcule o coeficiente do termo em
:
Passo 7
Portanto, mantendo até a primeira correção em
,
Esse é o resultado pedido na parte (ii). Observação prática: o termo
é pequeno quando
(em radianos) é pequeno; por exemplo, para
rad, a correção é
, bem pequena.