Pêndulo simples não-linear: O período exato de um pêndulo simples para grandes amplitudes é dado pela fórmula:
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2}\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\frac{9}{64} \sin ^{4}\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\cdots\right)
onde \theta_{0} é a amplitude angular máxima, L o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade.

Problema:

i. Use a aproximação de Taylor para \sin x \approx x quando x é pequeno para mostrar que para pequenas amplitudes \left(\theta_{0} \rightarrow 0\right), o período se reduz à fórmula clássica:
T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
ii. Para ângulos pequenos mas não nulos, encontre a primeira correção ao período mostrando que:
T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\theta_{0}^{2}}{16}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão exata do período do pêndulo simples para grandes amplitudes:
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\frac{9}{64}\sin^{4}\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\cdots\right),
onde \theta_{0} é a amplitude angular máxima, L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade.
As perguntas são:
i. Mostrar que, quando \theta_{0}\to 0 (pequenas amplitudes), o período reduz-se à fórmula clássica \displaystyle T\approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
ii. Para ângulos pequenos mas não nulos, encontrar a primeira correção ao período e mostrar que \displaystyle T\approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\Big(1+\frac{\theta_{0}^{2}}{16}\Big).

Passo 2

Lembrete (ferramenta principal): a expansão em série de Taylor de \sin x em torno de x=0 é
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
onde O(x^{5}) significa termos da ordem de x^{5} ou maiores quando x\to 0. Para ângulos pequenos usamos a aproximação de primeira ordem
\sin x \approx x,
que é simplesmente manter o primeiro termo da série.

Passo 3

Aplicando a aproximação \sin x \approx x ao argumento \displaystyle x=\frac{\theta_{0}}{2}, obtemos
\sin\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right) \approx \frac{\theta_{0}}{2}.
Como \theta_{0}\to 0, então \sin^{2}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)\to 0 e \sin^{4}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)\to 0 ainda mais rápido.

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão do período, o parêntese multiplica 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} e tende a 1:
1+\frac{1}{4}\sin^{2}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\frac{9}{64}\sin^{4}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\cdots \longrightarrow 1.
Portanto, no limite de pequenas amplitudes:
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Isto responde a parte (i).

Passo 5

Agora a parte (ii): queremos a primeira correção para \theta_{0} pequeno mas não nulo. Usamos a aproximação mais precisa apenas o quanto basta para obter o termo em \theta_{0}^{2}. Começamos por aproximar \sin^{2}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right). Usando \sin x = x + O(x^{3}) com x=\frac{\theta_{0}}{2}, temos
\sin^{2}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right) = \left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)^{2} + O\!\left(\theta_{0}^{4}\right).
Ou seja, o termo principal em ordem baixa é \displaystyle \frac{\theta_{0}^{2}}{4}; os demais são da ordem \theta_{0}^{4} ou maiores.

Passo 6

Substituímos essa aproximação no parenteses da fórmula do período, mantendo apenas termos até O(\theta_{0}^{2}) (portanto descartando \sin^{4} e termos de ordem \theta_{0}^{4}):
1+\frac{1}{4}\sin^{2}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\frac{9}{64}\sin^{4}\!\left(\frac{\theta_{0}}{2}\right)+\cdots \approx 1+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{\theta_{0}^{2}}{4}\right) + O\!\left(\theta_{0}^{4}\right).
Calcule o coeficiente do termo em \theta_{0}^{2}:
\frac{1}{4}\cdot\frac{\theta_{0}^{2}}{4} = \frac{\theta_{0}^{2}}{16}.

Passo 7

Portanto, mantendo até a primeira correção em \theta_{0}^{2},
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\theta_{0}^{2}}{16}\right).
Esse é o resultado pedido na parte (ii). Observação prática: o termo \frac{\theta_{0}^{2}}{16} é pequeno quando \theta_{0} (em radianos) é pequeno; por exemplo, para \theta_{0}=0,1 rad, a correção é \approx 0,000625, bem pequena.

Resposta

T \approx 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\n T \approx 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\Big(1+\dfrac{\theta_{0}^{2}}{16}\Big)

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