Prove que, se
é definida para
por
, então
é contínua em todo ponto de seu domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
por
O que se pede: provar que
é contínua em todo ponto do domínio
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida apenas para
. - A tarefa é mostrar continuidade em cada ponto
.
Passo 2
Recordando a definição precisa de continuidade (vamos usar essa linguagem no resto da prova): seja
. A função
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
no domínio com
, vale
.
Aqui:
-
é a tolerância que queremos para a diferença dos valores de ; -
é a tolerância que escolheremos para a diferença das entradas em relação a ; - mostrar continuidade significa dar uma regra que, dado qualquer
, fornece um que funcione.
Vamos provar a condição de continuidade separando em dois casos:
e
.
Passo 3
Caso
.
Queremos: para todo
encontrar
tal que, se
e
, então
.
Observação direta:
Para garantir
basta garantir
. Logo, uma escolha válida é
De fato, se
então
. Portanto a condição de continuidade em
está satisfeita.
Passo 4
Caso
.
Queremos: para dado
encontrar
tal que, se
e
, então
.
Uma técnica útil é usar a fatoração pela conjugada. Para
e
temos
(Justificativa rápida: multiplicar numerador e denominador por
obtém a diferença de quadrados no numerador.)
Agora vamos controlar o denominador
por baixo. Como
e
, sempre
Assim, da identidade acima segue a desigualdade
Passo 5
Escolha do
no caso
.
Queremos garantir
. Pela desigualdade do passo anterior basta garantir
ou seja
Além disso, é conveniente escolher
menor ou igual a
para ter certeza de que
quando
. Portanto uma escolha que funciona é
Verificação: se
então
(logo
faz sentido) e
Assim a condição de continuidade em
é satisfeita.
Passo 6
Conclusão combinada.
- No caso
escolhemos e obtivemos sempre que . - No caso
escolhemos e obtivemos sempre que .
Portanto para cada
e para cada
existe
(construído acima) tal que
implica
. Isso prova que
é contínua em todo ponto do domínio.