Prove que, se f é definida para x \geq 0 por f(x)=\sqrt{x}, então f é contínua em todo ponto de seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida para x\ge 0 por
f(x)=\sqrt{x}.
O que se pede: provar que f é contínua em todo ponto do domínio [0,\infty).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida apenas para x\ge 0.
  • A tarefa é mostrar continuidade em cada ponto a\in[0,\infty).

Passo 2

Recordando a definição precisa de continuidade (vamos usar essa linguagem no resto da prova): seja a\in[0,\infty). A função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio com |x-a|<\delta, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon é a tolerância que queremos para a diferença dos valores de f;
  • \delta é a tolerância que escolheremos para a diferença das entradas x em relação a a;
  • mostrar continuidade significa dar uma regra que, dado qualquer \varepsilon>0, fornece um \delta>0 que funcione.
Vamos provar a condição de continuidade separando em dois casos: a=0 e a>0.

Passo 3

Caso a=0.
Queremos: para todo \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se x\ge0 e |x-0|<\delta, então |\sqrt{x}-\sqrt{0}|<\varepsilon.
Observação direta:
|\sqrt{x}-\sqrt{0}|=\sqrt{x}.
Para garantir \sqrt{x}<\varepsilon basta garantir x<\varepsilon^{2}. Logo, uma escolha válida é
\delta=\varepsilon^{2}.
De fato, se 0\le x<\delta=\varepsilon^{2} então |\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\varepsilon. Portanto a condição de continuidade em a=0 está satisfeita.

Passo 4

Caso a>0.
Queremos: para dado \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se x\ge0 e |x-a|<\delta, então |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon.
Uma técnica útil é usar a fatoração pela conjugada. Para x\ge0 e a\ge0 temos
|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
(Justificativa rápida: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{a} obtém a diferença de quadrados no numerador.)
Agora vamos controlar o denominador \sqrt{x}+\sqrt{a} por baixo. Como a>0 e \sqrt{x}\ge0, sempre
\sqrt{x}+\sqrt{a}\ge \sqrt{a}>0.
Assim, da identidade acima segue a desigualdade
|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}.

Passo 5

Escolha do \delta no caso a>0.
Queremos garantir |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon. Pela desigualdade do passo anterior basta garantir
\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\varepsilon,
ou seja
|x-a|<\varepsilon\sqrt{a}.
Além disso, é conveniente escolher \delta menor ou igual a a para ter certeza de que x\ge0 quando |x-a|<\delta. Portanto uma escolha que funciona é
\delta=\min\{\tfrac{a}{2},\\ \varepsilon\sqrt{a}\}.
Verificação: se 0<|x-a|<\delta então x\ge a-\delta\ge a-\tfrac{a}{2}=\tfrac{a}{2}>0 (logo \sqrt{x} faz sentido) e
|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\frac{\delta}{\sqrt{a}}\le\frac{\varepsilon\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\varepsilon.
Assim a condição de continuidade em a>0 é satisfeita.

Passo 6

Conclusão combinada.
  • No caso a=0 escolhemos \delta=\varepsilon^{2} e obtivemos |\sqrt{x}-\sqrt{0}|<\varepsilon sempre que |x-0|<\delta.
  • No caso a>0 escolhemos \delta=\min\{\tfrac{a}{2},\\ \varepsilon\sqrt{a}\} e obtivemos |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon sempre que |x-a|<\delta.
Portanto para cada a\in[0,\infty) e para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 (construído acima) tal que |x-a|<\delta implica |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon. Isso prova que f(x)=\sqrt{x} é contínua em todo ponto do domínio.

Resposta

f é contínua em [0,\infty).

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