Calcule a integral tripla
\iint_{E} \int 60 x^{2} y z d V
onde E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq z \leq 32-x^{2}-y^{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}.
  • Resposta : \frac{2^{22}}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} 60\,x^{2}y\,z\,dV
onde
E=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le z\le 32 - x^{2}-y^{2},\;x\ge0,\;y\ge0\bigr\}.
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, aplicando a descrição de um sólido limitado por duas paraboloides e pelo primeiro quadrante em xy.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
o jacobiano é r, e as condições viram
\;r\ge0,\;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\;r^{2}\le z\le 32 - r^{2}.
Como r^{2}\le 32 - r^{2} r\le4, temos
0\le r\le4,\quad 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\quad r^{2}\le z\le 32 - r^{2}.

Passo 3

Substituindo na integral,
60\,x^{2}y\,z\,dV =60\,(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)\,z\;(r\,dr\,d\theta\,dz) =60\,r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\;z\;dr\,d\theta\,dz.
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\iiint_{E}60\,x^{2}y\,z\,dV =60\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4}\!\int_{r^{2}}^{32 - r^{2}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\;z\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{r^{2}}^{32 - r^{2}}z\,dz =\Bigl[\tfrac12\,z^{2}\Bigr]_{r^{2}}^{32 - r^{2}} =\tfrac12\bigl((32 - r^{2})^{2} - (r^{2})^{2}\bigr) =\tfrac12(1024 - 64r^{2}) =512 - 32r^{2}.
Assim a integral vira
60\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,(512 - 32r^{2}) \,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos a parte angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
Fazendo u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta, os limites vão de u(0)=1 a u(\pi/2)=0, e obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta =\int_{1}^{0}u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}du =\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Agora a parte radial:
\int_{0}^{4}r^{4}(512 - 32r^{2})\,dr =512\int_{0}^{4}r^{4}dr -32\int_{0}^{4}r^{6}dr =512\cdot\tfrac{4^{5}}{5}-32\cdot\tfrac{4^{7}}{7} =\frac{524288}{5}-\frac{524288}{7} =524288\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\Bigr) =\frac{524288\cdot2}{35} =\frac{2^{20}}{35}.

Passo 7

Juntando tudo:
\iiint_{E}60\,x^{2}y\,z\,dV =60\;\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)\;\Bigl(\frac{2^{20}}{35}\Bigr) =20\cdot\frac{2^{20}}{35} =\frac{20}{35}\,2^{20} =\frac{4}{7}\,2^{20} =\frac{2^{22}}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{2^{22}}{7}

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