Calcule a integral tripla
\iint_{E} \int \cos \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}} d V
onde E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \quad \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{E}\cos\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}\,dV
onde
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,\;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}.
Como a função depende só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta,
com r\in[1,2], \theta\in[0,\pi/2], \varphi\in[0,\pi/2] (primeiro octante). O jacobiano é r^{2}\sin\theta, e
\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}=(r^{2})^{3/2}=r^{3},
logo o integrando vira \cos(r^{3}).

Passo 3

A integral fica
\int_{r=1}^{2}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \cos(r^{3})\,r^{2}\sin\theta\;d\varphi\,d\theta\,dr.
As integrais angulares separam:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=1, \quad \int_{0}^{\pi/2}d\varphi=\frac{\pi}{2}.
Sobram
\frac{\pi}{2}\int_{1}^{2}r^{2}\cos(r^{3})\,dr.

Passo 4

Fazemos a substituição t=r^{3}, então dt=3r^{2}dr e r^{2}dr=dt/3. Quando r=1, t=1; quando r=2, t=8. Assim
\int_{1}^{2}r^{2}\cos(r^{3})\,dr =\frac{1}{3}\int_{1}^{8}\cos t\,dt =\frac{1}{3}\bigl[\sin t\bigr]_{1}^{8} =\frac{1}{3}(\sin8-\sin1).
Multiplicando pelo fator \pi/2 dá o resultado final.

Resposta

\frac{\pi}{6}\,\bigl(\sin8-\sin1\bigr).

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