Seja E um planeta esférico de raio R cuja a densidade \rho(x, y, z) em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Determine a massa e também o centro de massa desse planeta.
  • Respostas: m=2 \pi R^{2} ;(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado fala de um planeta esférico de raio R cuja densidade em cada ponto (x,y,z) é inversamente proporcional à distância ao centro. Precisamos achar a massa total m e o centro de massa (\bar x,\bar y,\bar z). O conteúdo é cálculo de integrais tripla em coordenadas esféricas para corpos de densidade variável.

Passo 2

Como a densidade é inversamente proporcional à distância ao centro, escrevemos
\rho(r,\theta,\varphi)=\frac{C}{r},
onde r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} e C é a constante de proporcionalidade. Em coordenadas esféricas vale
dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

A massa total é
m=\iiint_{V}\rho\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R}\frac{C}{r}\;r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Integramos primeiro em \varphi e \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,
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m=2\pi\cdot 2\;C\int_{0}^{R}r\,dr =4\pi C\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R} =2\pi C\,R^2.
Para que isso dê m=2\pi R^2 usamos C=1, ou seja \rho=1/r.

Passo 4

Por simetria esférica, as componentes do centro de massa são
\bar x=\frac{1}{m}\iiint x\,\rho\,dV,\quad \bar y=\frac{1}{m}\iiint y\,\rho\,dV,\quad \bar z=\frac{1}{m}\iiint z\,\rho\,dV.
Cada integral de x, y ou z sobre uma esfera com densidade radial anula–se (metade positiva cancela com metade negativa). Logo
(\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,0).

Resposta

m=2\pi R^{2}
(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(0,0,0)

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