Seja E um planeta esférico de raio
cuja a densidade
em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância ao centro do planeta. Determine a massa e também o centro de massa desse planeta.
- Respostas:
Passo 1
O enunciado fala de um planeta esférico de raio
cuja densidade em cada ponto
é inversamente proporcional à distância ao centro. Precisamos achar a massa total
e o centro de massa
. O conteúdo é cálculo de integrais tripla em coordenadas esféricas para corpos de densidade variável.
Passo 2
Como a densidade é inversamente proporcional à distância ao centro, escrevemos
onde
e
é a constante de proporcionalidade. Em coordenadas esféricas vale
Passo 3
A massa total é
Integramos primeiro em
e
:
logo
Para que isso dê
usamos
, ou seja
.
Passo 4
Por simetria esférica, as componentes do centro de massa são
Cada integral de
,
ou
sobre uma esfera com densidade radial anula–se (metade positiva cancela com metade negativa). Logo