(2) Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões de uma caixa Tetangular aberta no topo com um volume de 32 \mathrm{~m}^{3} e que requer a quantidade mínima de material para a sua construção.

Passo 1

O problema pede as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo de volume 32\:\mathrm{m}^3 que minimize a quantidade de material (área da superfície). Isso é um problema de otimização com restrição, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Escolhemos variáveis x, y e z como as arestas da base e a altura da caixa, todas em metros. A área de material (sem a tampa) é
S(x,y,z)=\underbrace{xy}_{\text{fundo}}+\underbrace{2xz+2yz}_{\text{laterais}}
e a restrição de volume é
g(x,y,z)=xyz-32=0.

Passo 3

Pelo método de Lagrange, definimos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=S(x,y,z)-\lambda\,(xyz-32)
e impomos
\nabla \mathcal{L}=\mathbf{0},
isto é,
\begin{cases} \partial_x S - \lambda\,\partial_x (xyz)=0,\\\ \partial_y S - \lambda\,\partial_y (xyz)=0,\\\ \partial_z S - \lambda\,\partial_z (xyz)=0,\\\ xyz=32. \end{cases}
Calculando derivadas, obtemos
\begin{cases} y+2z=\lambda\,yz,\\\ x+2z=\lambda\,xz,\\\\ 2x+2y=\lambda\,xy,\\\ xyz=32. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações
\frac{y+2z}{yz}=\lambda=\frac{x+2z}{xz}
vem
(y+2z)xz=(x+2z)yz \quad\Longrightarrow\quad 2xz^2=2yz^2 \quad\Longrightarrow\quad x=y.

Passo 5

Substituindo y=x na terceira equação
2x+2x=\lambda\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad 4x=\lambda\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{4}{x},
e usando também \lambda=(y+2z)/(yz)=(x+2z)/(xz) com y=x
\frac{x+2z}{xz}=\frac{4}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{z}+\frac{2}{x}=\frac{4}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{z}=\frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{x}{2}.

Passo 6

Na restrição de volume xyz=32, substituindo y=x e z=x/2 resulta
x\cdot x\cdot\frac{x}{2}=32 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^3}{2}=32 \quad\Longrightarrow\quad x^3=64 \quad\Longrightarrow\quad x=4.
Logo y=4 e z=4/2=2.

Resposta

As dimensões que minimizam o material são base 4\:\mathrm{m}\times4\:\mathrm{m} e altura 2\:\mathrm{m}.

Exercícios relacionados