Um fabricante deseja construir uma caixa retangular aberta no topo com um volume fixo de 32 \mathrm{~m}^{3}. O material para a base da caixa custa \mathrm{R} \ 15 por metro quadrado, e o material para os lados custa R\5 por metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizarão o custo total dos materiais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Volume fixo da caixa: \,32\\ \mathrm{m}^3.
  • Caixa retangular sem tampa (aberta no topo).
  • Custo do material da base: \mathrm{R}\$\,15 por metro quadrado.
  • Custo do material dos lados: \mathrm{R}\$\,5 por metro quadrado.
  • Pede: determinar as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) que minimizam o custo total dos materiais, sujeitas ao volume fixo.

Passo 2

Definir variáveis (claras e simples):
  • Seja \,l o comprimento da base (em metros).
  • Seja \,w a largura da base (em metros).
  • Seja \,h a altura da caixa (em metros).
As áreas relevantes:
  • Área da base: \,A_{\text{base}} = l w.
  • Áreas dos quatro lados: dois lados com área l h cada e dois lados com área w h cada, logo área total dos lados \,A_{\text{lados}} = 2l h + 2w h.
Custo total (função do custo por área):
  • Custo da base: \,15\cdot l w.
  • Custo dos lados: \,5\cdot(2l h + 2w h)=10h(l+w).
    Portanto, custo total:
C(l,w,h)=15\,l w + 10\,h(l+w).

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar uma variável:
Volume dado: \,l w h = 32. Assim
h=\frac{32}{l w}.
Vou substituir essa expressão de \,h na função custo para obter C só em função de l e w.

Passo 4

Substituindo h em C:
C(l,w)=15\,l w + 10\cdot\frac{32}{l w}\,(l+w).
Simplificar o segundo termo: \dfrac{l+w}{l w}=\dfrac{l}{l w}+\dfrac{w}{l w}=\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{l}. Então
C(l,w)=15\,l w + 320\!\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{l}\right).
Essa é a função que queremos minimizar para l>0,\\ w>0.

Passo 5

Estratégia para minimizar C(l,w): usar cálculo de funções de duas variáveis — calcular as derivadas parciais \partial C/\partial l e \partial C/\partial w, igualar a zero (condição necessária para extremos) e resolver o sistema. Depois verificar que o ponto encontrado é um mínimo (teste do Hessiano ou segunda derivada).

Passo 6

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial C}{\partial l}=15\,w - 320\frac{1}{l^{2}}, \qquad \frac{\partial C}{\partial w}=15\,l - 320\frac{1}{w^{2}}.
Igualando a zero obtemos o sistema crítico:
15\,w - \frac{320}{l^{2}}=0, \qquad 15\,l - \frac{320}{w^{2}}=0.

Passo 7

Resolver o sistema. Das duas equações:
15\,w=\frac{320}{l^{2}}\quad\Rightarrow\quad 15\,w l^{2}=320,
15\,l=\frac{320}{w^{2}}\quad\Rightarrow\quad 15\,l w^{2}=320.
Comparando as duas expressões do lado esquerdo (ambas iguais a 320), divide-se uma pela outra (assumindo l,w>0) e obtém-se:
\frac{15\,w l^{2}}{15\,l w^{2}}=\frac{320}{320}\quad\Rightarrow\quad \frac{l}{w}=1\quad\Rightarrow\quad l=w.
Ou seja, a base é quadrada. Chame s o lado da base: s=l=w.

Passo 8

Encontrar s usando uma das equações críticas. Substituindo l=w=s em \,15\,w - 320/l^{2}=0 dá:
15\,s-\frac{320}{s^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad 15\,s^{3}=320.
Logo
s^{3}=\frac{320}{15}=\frac{64}{3},
s=\sqrt[3]{\frac{64}{3}}=\frac{4}{\sqrt[3]{3}}.

Passo 9

Determinar h a partir do volume \,h=\dfrac{32}{s^{2}}. Usando s^{3}=\dfrac{64}{3} podemos simplificar:
s^{2}=\left(\frac{64}{3}\right)^{2/3}=\frac{16}{3^{2/3}},
h=\frac{32}{s^{2}}=\frac{32}{16/3^{2/3}}=2\cdot 3^{2/3}.
Também é possível relacionar diretamente com s: como s^3=64/3, tem-se h=\dfrac{32}{s^2}=\dfrac{32}{(64/3)^{2/3}}=2\cdot 3^{2/3}.

Passo 10

Verificação de que é mínimo (teste das segundas derivadas). As segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}C}{\partial l^{2}}=\frac{640}{l^{3}},\qquad \frac{\partial^{2}C}{\partial w^{2}}=\frac{640}{w^{3}},\qquad \frac{\partial^{2}C}{\partial l\partial w}=15.
No ponto l=w=s com s^{3}=64/3 calcula-se
\frac{640}{s^{3}}=\frac{640}{64/3}=30.
Assim \,C_{ll}=C_{ww}=30 e C_{lw}=15. O determinante do Hessiano é
D = C_{ll}C_{ww}-C_{lw}^{2}=30\cdot30-15^{2}=900-225=675>0,
e C_{ll}=30>0, portanto o ponto crítico é um mínimo local (e, pelo comportamento da função custo para l,w\to 0 ou \to\infty, é o mínimo global relevante).

Passo 11

Resultados exatos e aproximações numéricas úteis:
  • Lado da base:
l=w=s=\sqrt[3]{\frac{64}{3}}=\frac{4}{\sqrt[3]{3}}\approx 2{,}77\\ \mathrm{m}.
  • Altura:
h=2\cdot 3^{2/3}\approx 4{,}17\\ \mathrm{m}.

Resposta

l=w=\sqrt[3]{\dfrac{64}{3}}=\dfrac{4}{\sqrt[3]{3}}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}77\\ \mathrm{m}
h=2\cdot 3^{2/3}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}17\\ \mathrm{m}

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