Um fabricante deseja construir uma caixa retangular aberta no topo com um volume fixo de
. O material para a base da caixa custa
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5 por metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizarão o custo total dos materiais.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Volume fixo da caixa:
. - Caixa retangular sem tampa (aberta no topo).
- Custo do material da base:
por metro quadrado. - Custo do material dos lados:
por metro quadrado. - Pede: determinar as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) que minimizam o custo total dos materiais, sujeitas ao volume fixo.
Passo 2
Definir variáveis (claras e simples):
- Seja
o comprimento da base (em metros). - Seja
a largura da base (em metros). - Seja
a altura da caixa (em metros).
As áreas relevantes:
- Área da base:
. - Áreas dos quatro lados: dois lados com área
cada e dois lados com área cada, logo área total dos lados .
Custo total (função do custo por área):
- Custo da base:
. - Custo dos lados:
.
Portanto, custo total:
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar uma variável:
Volume dado: . Assim
Volume dado:
Vou substituir essa expressão de
na função custo para obter
só em função de
e
.
Passo 4
Substituindo
em
:
Simplificar o segundo termo:
. Então
Essa é a função que queremos minimizar para
.
Passo 5
Estratégia para minimizar
: usar cálculo de funções de duas variáveis — calcular as derivadas parciais
e
, igualar a zero (condição necessária para extremos) e resolver o sistema. Depois verificar que o ponto encontrado é um mínimo (teste do Hessiano ou segunda derivada).
Passo 6
Calcular as derivadas parciais:
Igualando a zero obtemos o sistema crítico:
Passo 7
Resolver o sistema. Das duas equações:
Comparando as duas expressões do lado esquerdo (ambas iguais a
), divide-se uma pela outra (assumindo
) e obtém-se:
Ou seja, a base é quadrada. Chame
o lado da base:
.
Passo 8
Encontrar
usando uma das equações críticas. Substituindo
em
dá:
Logo
Passo 9
Determinar
a partir do volume
. Usando
podemos simplificar:
Também é possível relacionar diretamente com
: como
, tem-se
.
Passo 10
Verificação de que é mínimo (teste das segundas derivadas). As segundas derivadas:
No ponto
com
calcula-se
Assim
e
. O determinante do Hessiano é
e
, portanto o ponto crítico é um mínimo local (e, pelo comportamento da função custo para
ou
, é o mínimo global relevante).
Passo 11
Resultados exatos e aproximações numéricas úteis:
- Lado da base:
- Altura: