Onde E é a região limitada pelo elipsoide . Utilize a mudança de variáveis apropriada.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla , onde é o elipsoide . O conteúdo principal é usar mudança de variáveis em integrais múltiplas, calcular o Jacobiano e usar simetria de esfera.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
que transforma a região elipsoidal na bola unitária
Passo 3
Como a transformação é linear, o Jacobiano é
então dV = 60,du,dv,dw. Além disso,
x^2+y^2+z^2 = 9u^2 + 16v^2 + 25w^2
Passo 4
Substituindo na integral original, obtemos
integral triplaE (x^2+y^2+z^2),dV = 60 ,integral triplau^2+v^2+w^2<=1 (9u^2+16v^2+25w^2),du,dv,dw
Passo 5
Em uma esfera unitária em R^3, pela simetria, integral tripla u^2,dV = integral tripla v^2,dV = integral tripla w^2,dV = 4pi15.
Logo,
integral triplau^2+v^2+w^2<=1 (9u^2+16v^2+25w^2),dV = (9+16+25)4pi15 = 504pi15,
escrevendo a integral final como 60 times 50 times 4pi15.