Calcule a integral tripla:
integral tripla(x^2+y^2+z^2) d V
Onde E é a região limitada pelo elipsoide x^29+y^216+z^225=1. Utilize a mudança de variáveis apropriada.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla integral triplaE (x^2+y^2+z^2),dV, onde E é o elipsoide x^29+y^216+z^225=1. O conteúdo principal é usar mudança de variáveis em integrais múltiplas, calcular o Jacobiano e usar simetria de esfera.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x = 3u, y = 4v, z = 5w,
que transforma a região elipsoidal x^29+y^216+z^225=1 na bola unitária
u^2+v^2+w^2<=1

Passo 3

Como a transformação é linear, o Jacobiano é
J = det3&0&00&4&00&0&5 = 60,
então dV = 60,du,dv,dw. Além disso,
x^2+y^2+z^2 = 9u^2 + 16v^2 + 25w^2

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral triplaE (x^2+y^2+z^2),dV = 60 ,integral triplau^2+v^2+w^2<=1 (9u^2+16v^2+25w^2),du,dv,dw

Passo 5

Em uma esfera unitária em R^3, pela simetria,
integral tripla u^2,dV = integral tripla v^2,dV = integral tripla w^2,dV = 4pi15.
Logo,
integral triplau^2+v^2+w^2<=1 (9u^2+16v^2+25w^2),dV = (9+16+25)4pi15 = 504pi15,
escrevendo a integral final como 60 times 50 times 4pi15.

Resposta

800\pi

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