Calcule a massa de um sólido E com densidade de, onde E é a região limitada pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=4

Passo 1

O enunciado pede calcular a massa de um sólido de densidade de na região limitada por x^2+y^2=9, z=0 e z=4. O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas cilíndricas para massa com densidade variável.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. A densidade vira de e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. Assim a massa fica
M=integral triplaEde

Passo 3

Agora calculamos a integral: primeiro em z: integral0^4 r^3,dz=4r^3. Depois em r:
integral0^3 4r^3,dr=4cdot3^44=81

Passo 4

Por fim em theta: integral0^2pi81,dtheta=162pi.

Resposta

162pi

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