Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do solido que está dentro da
esfera: x^2+y^2+z^2=36, e acima do plano xy e abaixo do cone z=raiz3(x^2+y^2)

Passo 1

O problema pede o volume do sólido que fica dentro da esfera x^2+y^2+z^2=36, acima do plano xy (isto é, com z>=0) e abaixo do cone z=raiz3(x^2+y^2). Vamos usar coordenadas esféricas (rho,varphi,theta), em que x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi e o elemento de volume vale dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Na esfera temos 0<=rho<=6. O plano xy impõe z>=0, ou seja 0<=varphi<=tfracpi2. Para o cone escrevemos rhocosvarphi=raiz3,rhosinvarphi, de onde tanvarphi=1/raiz3 e varphi=pi/6. Como queremos pontos abaixo do cone (isto é, z<=raiz3(x^2+y^2)), ficamos com varphi de pi/6 até pi/2. E theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Montamos então o integral triplo:
V=integraltheta=0^2piintegralvarphi=pi/6^pi/2integralrho=0^6rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho e varphi:
integral0^6rho^2,drho=6^33=72,
integralpi/6^pi/2sinvarphi,dvarphi=l[-cosvarphir]pi/6^pi/2=0-l(-tfracraiz32r)=raiz32,
ficando o produto dessas integrais igual a 72cdottfracraiz32=36raiz3.

Passo 5

Finalmente integramos em theta:
V=integral0^2pi36raiz3,dtheta=36raiz3times2pi=72piraiz3

Resposta

72piraiz3

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