Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do solido que está dentro da
esfera:
, e acima do plano xy e abaixo do cone
esfera:
Passo 1
O problema pede o volume do sólido que fica dentro da esfera
, acima do plano
(isto é, com
) e abaixo do cone
. Vamos usar coordenadas esféricas
, em que
,
,
e o elemento de volume vale
.
Passo 2
Na esfera temos
. O plano
impõe
, ou seja
. Para o cone escrevemos
, de onde
e
. Como queremos pontos abaixo do cone (isto é,
), ficamos com
de
até
. E
varia de
a
.
Passo 3
Montamos então o integral triplo:
Passo 4
Primeiro integramos em
e
:
ficando o produto dessas integrais igual a
.
Passo 5
Finalmente integramos em
: