Onde E é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que está dentro do cilindro e entre os planos e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam muito quando trabalhamos com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar , e , a gente usa (raio), (ângulo) e . A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, , em coordenadas cilíndricas. Substituindo:
Então, a integral tripla fica:
Passo 4
Precisamos definir os limites de integração para , e .
Para , como estamos dentro do cilindro , temos variando de 0 a 4.
Para , como o cilindro é completo em torno do eixo , varia de 0 a .
Para , a região está entre os planos e , então varia de 0 a 5.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral com os limites definidos:
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em relação a .