Calcule a integral tripla:
integral tripla(x^2+y^2) d V
Onde E é a região contida dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=0 e z=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de x^2 + y^2 sobre a região E, que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 16 e entre os planos z = 0 e z = 5. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam muito quando trabalhamos com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar x, y e z, a gente usa r (raio), theta (ângulo) e z. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Além disso, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é dado por:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, x^2 + y^2, em coordenadas cilíndricas. Substituindo:
x^2 + y^2 = r^2
Então, a integral tripla fica:
integral triplalimitsE r^2 cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplalimitsE r^3 , dr , dtheta , dz

Passo 4

Precisamos definir os limites de integração para r, theta e z.
  • Para r, como estamos dentro do cilindro x^2 + y^2 = 16, temos r variando de 0 a 4.
  • Para theta, como o cilindro é completo em torno do eixo z, theta varia de 0 a 2pi.
  • Para z, a região está entre os planos z = 0 e z = 5, então z varia de 0 a 5.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral com os limites definidos:
integral0^2pi integral0^4 integral0^5 r^3 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em relação a z.

Passo 6

Integrando em relação a z:
integral0^5 r^3 , dz = r^3 cdot z |0^5 = 5r^3
Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^4 5r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Integrando em relação a r:
integral0^4 5r^3 , dr = 5 cdot r^44 |0^4 = 54 cdot 4^4 = 54 cdot 256 = 320
Agora, a integral fica:
integral0^2pi 320 , dtheta

Passo 8

Finalmente, integrando em relação a theta:
integral0^2pi 320 , dtheta = 320 cdot theta |0^2pi = 320 cdot 2pi = 640pi

Resposta

O valor da integral tripla é 640pi.

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