Calcule a integral tripla:
Onde E é a região limitada pelo elipsoide
. Utilize a mudança de variáveis apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ E $, que é limitada pelo elipsoide dado por:
Conteúdo envolvido: Integrais triplas, mudanças de variáveis, e cálculo de determinantes de Jacobiano.
O que vamos precisar: Fazer uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração para uma forma mais fácil de trabalhar, como uma esfera, e ajustar a função integrando e o diferencial de volume conforme essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a nossa vida transformando o elipsoide em uma esfera. Para isso, fazemos uma mudança de variáveis que “escalona” os eixos do elipsoide.
Definimos:
Com essa mudança, a equação do elipsoide fica:
Agora, nossa região $ E $ virou uma esfera unitária no espaço $ (u, v, w) $.
Passo 3
Agora, precisamos ajustar a integral para essa mudança de variáveis. Quando fazemos uma mudança de variáveis, o diferencial de volume $ dV $ também muda e é multiplicado pelo determinante do Jacobiano dessa transformação.
Calculando o Jacobiano:
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
= 2 \times 3 \times 4 = 24
$$
Então, $ dV = 24 , du , dv , dw $.
Passo 4
Vamos reescrever a função integrando $ x^{2} + y^{2} $ em termos de $ u $ e $ v $:
Então, a integral original se transforma em:
Passo 5
Para resolver essa integral sobre a esfera unitária, vamos usar coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas $ (r, \theta, \phi) $ são dadas por:
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é:
Como estamos sobre a esfera unitária, $ r $ varia de 0 a 1, $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $, e $ \phi $ de 0 a $ \pi $.
Passo 6
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo as integrais separadamente:
- Integral em $ r $:
- Integral em $ \theta $:
(Usamos a propriedade que $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta , d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}\theta , d\theta = \pi $)
- Integral em $ \phi $:
Passo 8
Multiplicando todas as partes:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{416}{5} \pi $.