Calcule a integral tripla:
integral tripla(x^2+y^2) d V
Onde E é a região limitada pelo elipsoide x^24+y^29+z^216=1. Utilize a mudança de variáveis apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ E $, que é limitada pelo elipsoide dado por:
x^2 + y^2
Conteúdo envolvido: Integrais triplas, mudanças de variáveis, e cálculo de determinantes de Jacobiano.
O que vamos precisar: Fazer uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração para uma forma mais fácil de trabalhar, como uma esfera, e ajustar a função integrando e o diferencial de volume conforme essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a nossa vida transformando o elipsoide em uma esfera. Para isso, fazemos uma mudança de variáveis que “escalona” os eixos do elipsoide.
Definimos:
u = x2, v = y3, w = z4
Com essa mudança, a equação do elipsoide fica:
u^2 + v^2 + w^2 = 1
Agora, nossa região $ E $ virou uma esfera unitária no espaço $ (u, v, w) $.

Passo 3

Agora, precisamos ajustar a integral para essa mudança de variáveis. Quando fazemos uma mudança de variáveis, o diferencial de volume $ dV $ também muda e é multiplicado pelo determinante do Jacobiano dessa transformação.
Calculando o Jacobiano:

$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
dV

partial(x, y, z)partial(u, v, w) = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4 = 2 times 3 times 4 = 24
= 2 \times 3 \times 4 = 24
$$
Então, $ dV = 24 , du , dv , dw $.

Passo 4

Vamos reescrever a função integrando $ x^{2} + y^{2} $ em termos de $ u $ e $ v $:
x^2 + y^2
Então, a integral original se transforma em:
u

Passo 5

Para resolver essa integral sobre a esfera unitária, vamos usar coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas $ (r, \theta, \phi) $ são dadas por:
(r, theta, phi)
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é:
u = r sinphi costheta, v = r sinphi sintheta, w = r cosphi
Como estamos sobre a esfera unitária, $ r $ varia de 0 a 1, $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $, e $ \phi $ de 0 a $ \pi $.

Passo 6

Substituindo na integral:
24 integral tripla (4u^2 + 9v^2) , du , dv , dw = 24 integral0^1 integral0^2pi integral0^pi [4(r sinphi costheta)^2 + 9(r sinphi sintheta)^2] r^2 sinphi , dphi , dtheta , dr
Simplificando:
24 integral0^1 r^4 , dr integral0^2pi [4 sin^2phi cos^2theta + 9 sin^2phi sin^2theta] , dtheta integral0^pi sin^3phi , dphi

Passo 7

Resolvendo as integrais separadamente:
  1. Integral em $ r $:
r
  1. Integral em $ \theta $:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15
(Usamos a propriedade que $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta , d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}\theta , d\theta = \pi $)
  1. Integral em $ \phi $:
theta

Passo 8

Multiplicando todas as partes:
24 times 15 times 13pi times 43 = 24 times 15 times 52pi3 = 24 times 52pi15 = 1248pi15
Simplificando:
1248pi15 = 416pi5

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{416}{5} \pi $.

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