Calcule a massa de um sólido E com densidade
, onde E é a região limitada pelo cilindro
os planos
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a massa de um sólido E. A densidade desse sólido é dada pela função
. A região E é limitada por um cilindro definido por
e pelos planos
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas, que nos ajuda a encontrar a massa quando sabemos a densidade e a região do objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a massa usando uma integral tripla. A massa
é dada por:
Aqui,
representa um elemento de volume na região E.
Passo 3
Agora, vamos entender melhor a região E. O cilindro
tem raio 2, e está limitado entre as alturas
e
. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, o elemento de volume
fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas:
-
varia de 0 a 2 (raio do cilindro), -
varia de 0 a (círculo completo), -
varia de 0 a 3 (altura do cilindro).
A densidade
em coordenadas cilíndricas continua sendo
.
Então, a integral para a massa fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
A massa do sólido E é
unidades de massa.