Calcule a massa de um sólido E com densidade de, onde E é a região limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=3

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a massa de um sólido E. A densidade desse sólido é dada pela função de. A região E é limitada por um cilindro definido por x^2 + y^2 = 4 e pelos planos z = 0 e z = 3. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas, que nos ajuda a encontrar a massa quando sabemos a densidade e a região do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a massa usando uma integral tripla. A massa M é dada por:
M = integral triplaE de
Aqui, dV representa um elemento de volume na região E.

Passo 3

Agora, vamos entender melhor a região E. O cilindro x^2 + y^2 = 4 tem raio 2, e está limitado entre as alturas z = 0 e z = 3. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Nessas coordenadas, o elemento de volume dV fica:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas:
  • r varia de 0 a 2 (raio do cilindro),
  • theta varia de 0 a 2pi (círculo completo),
  • z varia de 0 a 3 (altura do cilindro).
A densidade de em coordenadas cilíndricas continua sendo z.
Então, a integral para a massa fica:
M = integral0^2pi integral0^2 integral0^3 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em z:
integral0^3 z , dz = [z^22]0^3 = 92
  1. Integral em r:
integral0^2 r cdot 92 , dr = 92 integral0^2 r , dr = 92 [r^22]0^2 = 92 cdot 2 = 9
  1. Integral em theta:
integral0^2pi 9 , dtheta = 9 cdot 2pi = 18pi

Resposta

A massa do sólido E é 18pi unidades de massa.

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