Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do solido que está dentro da esfera:
, e acima do plano xy e abaixo do cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e como calcular volumes usando integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano a partir do eixo . -
é o ângulo a partir do eixo .
As conversões para coordenadas cartesianas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para
,
e
.
-
: Como estamos dentro da esfera , temos variando de 0 a 5. -
: O sólido é simétrico em torno do eixo , então varia de a . -
: Precisamos determinar os limites para . O sólido está acima do plano ( ), o que significa que varia de a . Além disso, está abaixo do cone . Convertendo isso para coordenadas esféricas:
Dividindo ambos os lados por
(com
):
Então,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora que temos os limites, podemos escrever a integral para o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral agora fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.