Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do solido que está dentro da esfera: x^2+y^2+z^2=25, e acima do plano xy e abaixo do cone z=raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25, acima do plano xy e abaixo do cone z = raizx^2 + y^2. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e como calcular volumes usando integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • phi é o ângulo a partir do eixo z.
As conversões para coordenadas cartesianas são:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para rho, theta e phi.
  1. rho: Como estamos dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25, temos rho variando de 0 a 5.
  2. theta: O sólido é simétrico em torno do eixo z, então theta varia de 0 a 2pi.
  3. phi: Precisamos determinar os limites para phi. O sólido está acima do plano xy ( z >= 0), o que significa que phi varia de 0 a pi2. Além disso, está abaixo do cone z = raizx^2 + y^2. Convertendo isso para coordenadas esféricas:
z = rho cos phi = raizx^2 + y^2 = rho sin phi
Dividindo ambos os lados por rho (com rho > 0):
cos phi = sin phi implies tan phi = 1 implies phi = pi4
Então, phi varia de 0 a pi4.

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral para o volume V:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^5 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^5 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^5 = 5^33 - 0 = 1253
Então, a integral agora fica:
V = 1253 integral0^2pi integral0^pi4 sin phi , dphi , dtheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a phi:
integral0^pi4 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22
Substituindo de volta na integral:
V = 1253 (1 - raiz22) integral0^2pi dtheta

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, o volume é:
V = 1253 (1 - raiz22) times 2pi = 250pi3 (1 - raiz22)

Resposta

O volume do sólido é V = 250pi3 (1 - raiz22) unidades cúbicas.

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