Calcule a integral tripla integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=-3, B é a região 1 <= x+y+z <= 3,0 <= x-y-z <= 2 e 0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz, onde f(x, y, z) = -3 e a região B é definida por:
  • 1 <= x + y + z <= 3
  • 0 <= x - y - z <= 2
  • 0 <= z <= 1
Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique os limites de integração. Isso envolve entender a transformação das coordenadas e calcular o Jacobiano dessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma boa mudança de variáveis. Observando as condições da região B, percebemos que as combinações u = x + y + z e v = x - y - z aparecem nos limites. Então, vamos definir:
  • u = x + y + z
  • v = x - y - z
  • w = z
Agora, precisamos expressar x, y e z em termos de u, v e w. Temos:
  • De u e v: x = u + v2
  • Subtraindo v de u: y = u - v2 - w
  • E já definimos w = z.

Passo 3

Com isso, temos a transformação das coordenadas. Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano J é dado pela matriz das derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 12 & 12 & 0 12 & -12 & -1 0 & 0 & 1
Calculando o determinante:
J = (12)(-12 cdot 1 - (-1) cdot 0) - (12)(12 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 0 = -12
Como estamos interessados no valor absoluto do Jacobiano:
|J| = 12

Passo 4

Agora, vamos ajustar a integral original para as novas variáveis u, v, e w:
integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral triplau=1^3 integral triplav=0^2 integral triplaw=0^1 (-3) cdot |J| , du , dv , dw
Substituindo o valor do Jacobiano:
= -3 cdot 12 cdot integral triplau=1^3 integral triplav=0^2 integral triplaw=0^1 , du , dv , dw

Passo 5

Agora, calculamos a integral das novas variáveis, que agora é uma integral mais simples, já que os limites são constantes:
integralu=1^3 integralv=0^2 integralw=0^1 , dw , dv , du = (3-1) cdot (2-0) cdot (1-0) = 2 cdot 2 cdot 1 = 4

Passo 6

Finalmente, multiplicamos pelos coeficientes que trouxeram na mudança de variáveis:
-3 cdot 12 cdot 4 = -3 cdot 2 = -6

Resposta

O valor da integral tripla é -6.

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