Calcule a integral tripla , fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde e são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=-3, é a região e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular a integral tripla , onde e a região é definida por:
Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique os limites de integração. Isso envolve entender a transformação das coordenadas e calcular o Jacobiano dessa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma boa mudança de variáveis. Observando as condições da região , percebemos que as combinações e aparecem nos limites. Então, vamos definir:
Agora, precisamos expressar , e em termos de , e . Temos:
De e :
Subtraindo de :
E já definimos .
Passo 3
Com isso, temos a transformação das coordenadas. Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é dado pela matriz das derivadas parciais: