Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano
acima do retângulo
.
Passo 1
O enunciado nos dá um plano 3x+2y+z=12 e pede o volume do sólido que fica abaixo desse plano e acima do retângulo R em xy, então o conteúdo é cálculo de volume por integral dupla e vamos precisar usar a interpretação de volume como ∫∫_R z(x,y) dA, onde z(x,y) é a «altura» dada pelo plano.
Passo 2
Isolamos z no plano para expressar a altura sobre cada ponto (x,y):
Isso nos dá a função que vamos integrar.
Passo 3
Montamos a integral dupla sobre R = {0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em y, tratando x como constante. Para isso:
A primeira parte dá (12 - 3x)(3 - (-2)) = 5(12 - 3x) e a segunda é 2·[(3^2/2) - ((-2)^2/2)] = 2·[(9/2) - (4/2)] = 2·(5/2) = 5. Então o resultado é:
Passo 5
Agora integramos em x de 0 a 1:
Passo 6
Portanto, o volume do sólido é 95/2.