Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3 x+2 y+z=12 e acima do retângulo .

Passo 1

O enunciado nos dá um plano 3x+2y+z=12 e pede o volume do sólido que fica abaixo desse plano e acima do retângulo R em xy, então o conteúdo é cálculo de volume por integral dupla e vamos precisar usar a interpretação de volume como ∫∫_R z(x,y) dA, onde z(x,y) é a «altura» dada pelo plano.

Passo 2

Isolamos z no plano para expressar a altura sobre cada ponto (x,y):
z = 12 - 3x - 2y
Isso nos dá a função que vamos integrar.

Passo 3

Montamos a integral dupla sobre R = {0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}:
V = integral duplaR (12 - 3x - 2y),dA = integralx=0^1 integraly=-2^3 (12 - 3x - 2y),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y, tratando x como constante. Para isso:
integraly=-2^3 (12 - 3x - 2y),dy = integraly=-2^3 (12 - 3x),dy - 2integraly=-2^3 y,dy
A primeira parte dá (12 - 3x)(3 - (-2)) = 5(12 - 3x) e a segunda é 2·[(3^2/2) - ((-2)^2/2)] = 2·[(9/2) - (4/2)] = 2·(5/2) = 5. Então o resultado é:
5(12 - 3x) - 5 = 60 - 15x - 5 = 55 - 15x

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
V = integral0^1 (55 - 15x),dx = l[55x - 15x^22r]0^1 = 55 - 152 = 110 - 152 = 952

Passo 6

Portanto, o volume do sólido é 95/2.

Resposta

952

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