2: Questăo:
partial zpartial x cdot partial^2 zpartial x partial y=partial zpartial y cdot partial^2 zpartial x^2
b) (1.5). Sejam f eg funçōes reais diferenciaiveis. Se z=x f(yx)+g(x / y), obtenha partial^2 zpartial x^2

Passo 1

Na questão b) temos a função z = x,fl(yxr) + gl(xyr) dependente de x e y. Queremos calcular partial^2 zpartial x^2 usando derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Definindo as substituições u = y/x e v = x/y, obtemos
dudx = -yx^2 = -ux, dvdx = 1y
Agora, aplicando a regra do produto e da cadeia em z:
partial zpartial x = ddxl[x f(u)r] + ddxl[g(v)r] = f(u) + x f'(u)dudx + g'(v)dvdx = f(u) - yxf'(u) + 1yg'(v)

Passo 3

Para obter partial^2 z/partial x^2, derivamos cada termo de partial z/partial x em relação a x. Em particular, ao derivar -u f'(u) usamos novamente produto e cadeia, e ao derivar f(u) surge outro du/dx. O resultado intermediário é
partial^2 zpartial x^2 = -uxf'(u) + l(uxf'(u) + u^2xf''(u)r) + 1y^2g''(v),
onde -u/x)f'(u) e +u/x)f'(u) se cancelam.

Passo 4

Substituindo de volta u = y/x e v = x/y e notando que u^2/x = y^2/x^3, chegamos à forma final:

Passo 5

Resposta

[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y2}{x3}f’’\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \frac{1}{y^2}g’’\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)]

Exercícios relacionados