2: Questăo:
b) (1.5). Sejam
eg funçōes reais diferenciaiveis. Se
, obtenha
Passo 1
Na questão b) temos a função
dependente de
e
. Queremos calcular
usando derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Definindo as substituições
e
, obtemos
Agora, aplicando a regra do produto e da cadeia em
:
Passo 3
Para obter
, derivamos cada termo de
em relação a
. Em particular, ao derivar
usamos novamente produto e cadeia, e ao derivar
surge outro
. O resultado intermediário é
onde
e
se cancelam.
Passo 4
Substituindo de volta
e
e notando que
, chegamos à forma final:
Passo 5
Resposta
[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y2}{x3}f’’\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \frac{1}{y^2}g’’\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)]