Calcule a integral tripla , fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde e são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=\frac{e^{x-y+z}}{x+y-z}, \mathcal{B} é a região 0 \leq x-y+z \leq 1,1 \leq x+y-z \leq 2 e 0 \leq z \leq 1;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde a região é definida por:
,
,
.
Vamos usar a mudança de variáveis para simplificar essa integral. Para isso, precisamos definir novas variáveis que facilitam os limites de integração e a própria função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais combinações de , e aparecem nas desigualdades e na função. Observamos que:
Essas escolhas são úteis porque as desigualdades que definem a região serão mais simples em termos de , e .
Passo 3
Agora, precisamos expressar , e em termos de , e . Temos:
Vamos resolver esse sistema para e :
Somando : , então
Subtraindo de : , então
Então:
Passo 4
Precisamos agora calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12, partial xpartial w = 0
partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12, partial ypartial w = 1
partial zpartial u = 0, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 1