Calcule a integral tripla integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=\frac{e^{x-y+z}}{x+y-z}, \mathcal{B} é a região 0 \leq x-y+z \leq 1,1 \leq x+y-z \leq 2 e 0 \leq z \leq 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla integral triplaB e^x-y+zx+y-z , dx , dy , dz onde a região B é definida por:
  • 0 <= x - y + z <= 1,
  • 1 <= x + y - z <= 2,
  • 0 <= z <= 1.
Vamos usar a mudança de variáveis para simplificar essa integral. Para isso, precisamos definir novas variáveis que facilitam os limites de integração e a própria função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais combinações de x, y e z aparecem nas desigualdades e na função. Observamos que:
  • u = x - y + z
  • v = x + y - z
  • w = z
Essas escolhas são úteis porque as desigualdades que definem a região B serão mais simples em termos de u, v e w.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x, y e z em termos de u, v e w. Temos:
  • u = x - y + w
  • v = x + y - w
  • w = z
Vamos resolver esse sistema para x e y:
  • Somando u + v: u + v = 2x, então x = u + v2
  • Subtraindo v de u: u - v = -2y + 2w, então y = v - u2 + w
Então:
  • x = u + v2
  • y = v - u2 + w
  • z = w

Passo 4

Precisamos agora calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12, partial xpartial w = 0
  • partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12, partial ypartial w = 1
  • partial zpartial u = 0, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 1
Então,
J = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 1 0 & 0 & 1
Calculando o determinante:
J = 12 cdot ( 12 cdot 1 - 1 cdot 0 ) - 12 cdot ( -12 cdot 1 - 1 cdot 0 ) + 0 cdot (determinante menor)
J = 12 cdot 12 - 12 cdot ( -12 )
J = 14 + 14 = 12
Então, o valor absoluto do Jacobiano é |J| = 12.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função f(x, y, z) em termos das novas variáveis u, v, e w:
f(x, y, z) = e^x - y + zx + y - z = e^uv
E os limites de integração na nova coordenada ficam:
  • 0 <= u <= 1
  • 1 <= v <= 2
  • 0 <= w <= 1

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla na nova coordenada:
integral triplaB e^uv cdot |J| , du , dv , dw = integral triplaB' e^uv cdot 12 , du , dv , dw
Como a função não depende de w, a integral em w será apenas uma multiplicação pelos limites:
integral0^1 dw = 1

Passo 7

Portanto, a integral simplifica para:
12 integral0^1 integral1^2 e^uv , dv , du
Vamos resolver a integral interna em v primeiro:
integral1^2 1v , dv = ln v |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
12 cdot ln 2 integral0^1 e^u , du
Calculando a integral de e^u:
integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e - 1

Passo 9

Multiplicando todos os fatores:
12 cdot ln 2 cdot (e - 1)

Resposta

A integral tripla vale 12 cdot ln 2 cdot (e - 1).

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