Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio da base R.
Calcule o centro de massa. (Resp. ( 0,0,3h / 4 ))

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um cone circular reto homogêneo de altura h e raio da base R. Vamos usar o conceito de centro de massa em coordenadas cilíndricas, onde a massa total é dada por uma integral tripla do elemento dm=rho,dV e a coordenada zrm cm é zrm cm=1M,integral z,dm.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com o vértice do cone na origem e o eixo z apontando para a base em z=h. O elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz e a densidade é constante rho=tfracMV. Em cada plano z a seção do cone tem raio máximo rmax(z)=tfracRhz, e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos primeiro o volume V do cone para relacionar rho e M:
V=integralz=0^hintegraltheta=0^2piintegralr=0^(R/h)zr,dr,dtheta,dz =pi R^2 h3
Logo, rho=tfracMV=tfrac3Mpi R^2 h e portanto a massa total é M.

Passo 4

Agora calculamos o numerador da coordenada zrm cm:
integral z,dm=rhointegral0^hintegral0^2piintegral0^(R/h)zz,r,dr,dtheta,dz =rho,2piintegral0^hz(integral0^(R/h)zr,dr)dz
Dentro: integral0^(R/h)zr,dr=tfrac12(R/h)^2z^2. Substituindo:
integral z,dm=rho,2piR^22h^2integral0^hz^3,dz =rho,piR^2h^2cdoth^44 =rho,pi R^2 h^24

Passo 5

Dividindo pelo total M=rho V=rho,tfracpi R^2 h3 obtemos:
zrm cm=1Mintegral z,dm =rho,tfracpi R^2 h^24rho,tfracpi R^2 h3 =h^2/4h/3 =3h4
Pelo eixo de simetria, xrm cm=0 e yrm cm=0.

Resposta

(0,0,\tfrac{3h}{4})

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