Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio da base
.
Calcule o centro de massa. (Resp. (
))
Calcule o centro de massa. (Resp. (
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um cone circular reto homogêneo de altura
e raio da base
. Vamos usar o conceito de centro de massa em coordenadas cilíndricas, onde a massa total é dada por uma integral tripla do elemento
e a coordenada
é
.
Passo 2
Escolhemos o sistema de coordenadas cilíndricas
com o vértice do cone na origem e o eixo
apontando para a base em
. O elemento de volume é
e a densidade é constante
. Em cada plano
a seção do cone tem raio máximo
, e
varia de 0 a
.
Passo 3
Calculamos primeiro o volume
do cone para relacionar
e
:
Logo,
e portanto a massa total é
.
Passo 4
Agora calculamos o numerador da coordenada
:
Dentro:
. Substituindo:
Passo 5
Dividindo pelo total
obtemos:
Pelo eixo de simetria,
e
.
Resposta
(0,0,\tfrac{3h}{4})