Teste a convergência ou divergência da série
sumn=3^infty 1n ln n[ln (ln n)]^2

Passo 1

A questão pede para testar a convergência da série de termos positivos sumn=3^infty 1nln n[ln(ln n)]^2. O conteúdo é teste de convergência para séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1xln x[ln(ln x)]^2 para x>=3. Observamos que f(x) é positiva, contínua e decrescente em [3,infty), portanto podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria integral3^inftyf(x),dx. Fazemos a substituição t=ln x, o que implica dt=dx/x e quando x=3 temos t=ln3. Assim,
[\displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x[\ln(\ln x)]{2}}=\int_{\ln3}{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]^{2}}],
e em seguida fazemos a segunda substituição u=ln t, com du=dt/t e ttoln3 virando utoln(ln3). Obtemos
[\displaystyle\int_{\ln3}^{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]{2}}=\int_{\ln(\ln3)}{\infty}\frac{du}{u{2}}=-\Bigl[\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln(\ln3)}{\infty}=\frac{1}{\ln(\ln3)}<\infty].

Passo 4

Como a integral converge, o teste da integral garante que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados