Teste a convergência ou divergência da série
Passo 1
A questão pede para testar a convergência da série de termos positivos
. O conteúdo é teste de convergência para séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
é positiva, contínua e decrescente em
, portanto podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
. Fazemos a substituição
, o que implica
e quando
temos
. Assim,
[\displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x[\ln(\ln x)]{2}}=\int_{\ln3}{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]^{2}}],
[\displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x[\ln(\ln x)]{2}}=\int_{\ln3}{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]^{2}}],
e em seguida fazemos a segunda substituição
, com
e
virando
. Obtemos
[\displaystyle\int_{\ln3}^{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]{2}}=\int_{\ln(\ln3)}{\infty}\frac{du}{u{2}}=-\Bigl[\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln(\ln3)}{\infty}=\frac{1}{\ln(\ln3)}<\infty].
[\displaystyle\int_{\ln3}^{\infty}\frac{dt}{t[\ln t]{2}}=\int_{\ln(\ln3)}{\infty}\frac{du}{u{2}}=-\Bigl[\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln(\ln3)}{\infty}=\frac{1}{\ln(\ln3)}<\infty].
Passo 4
Como a integral converge, o teste da integral garante que a série original também converge.
Resposta
A série converge.