Explique o que é uma série condicionalmente convergente e dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que significa uma série condicionalmente convergente e ilustrar com um exemplo. O tema envolve séries infinitas e testes de convergência, em particular a distinção entre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma série infinita é uma soma do tipo sumn=1^infty an. Dizemos que ela é convergente quando a sequência das somas parciais SN = sumn=1^N an tende a um limite finito S quando N to infty.

Passo 3

Em seguida, definimos convergência absoluta: a série sumn=1^infty an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sumn=1^infty |an| também convergir. Convergência absoluta implica convergência.

Passo 4

Uma série é chamada condicionalmente convergente quando ela converge (isto é, sum an converge) mas não converge absolutamente (isto é, sum |an| diverge). Nesse caso, a convergência depende dos sinais dos termos, e não apenas de seus módulos.

Passo 5

Um exemplo clássico é a série alternada harmônica: sumn=1^infty (-1)^n+1,/,n. Pelo teste de Leibniz, como 1/n é positivo, decrescente e tende a zero, essa série converge. Porém a série dos módulos é sumn=1^infty 1/n, que é a série harmônica e diverge. Logo, essa série converge condicionalmente.

Resposta

Uma série condicionalmente convergente é aquela que converge, mas não converge absolutamente. Um exemplo é a série alternada harmônica sumn=1^infty (-1)^n+1/n, que converge pelo teste de Leibniz, enquanto a sua soma dos módulos sumn=1^infty 1/n diverge.

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