Explique o que é uma série condicionalmente convergente e dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que significa uma série condicionalmente convergente e ilustrar com um exemplo. O tema envolve séries infinitas e testes de convergência, em particular a distinção entre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma série infinita é uma soma do tipo
. Dizemos que ela é convergente quando a sequência das somas parciais
tende a um limite finito
quando
.
Passo 3
Em seguida, definimos convergência absoluta: a série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
também convergir. Convergência absoluta implica convergência.
Passo 4
Uma série é chamada condicionalmente convergente quando ela converge (isto é,
converge) mas não converge absolutamente (isto é,
diverge). Nesse caso, a convergência depende dos sinais dos termos, e não apenas de seus módulos.
Passo 5
Um exemplo clássico é a série alternada harmônica:
. Pelo teste de Leibniz, como
é positivo, decrescente e tende a zero, essa série converge. Porém a série dos módulos é
, que é a série harmônica e diverge. Logo, essa série converge condicionalmente.
Resposta
Uma série condicionalmente convergente é aquela que converge, mas não converge absolutamente. Um exemplo é a série alternada harmônica
, que converge pelo teste de Leibniz, enquanto a sua soma dos módulos
diverge.