Calcule a integral tripla
, onde
é conjunto
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto definido por
e
. Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando uma função sobre uma região tridimensional no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades de simetria da função e da região de integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que a região
é metade da esfera de raio 1 centrada na origem, já que
. Isso significa que estamos integrando sobre a parte da esfera onde a coordenada
é não negativa.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Notamos que essa função é ímpar em relação à variável
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos analisar a simetria da região
em relação ao eixo
. Apesar de estarmos considerando apenas
, a região ainda é simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que para cada ponto
em
, existe um ponto
também em
.
Passo 5
Devido à simetria da região e à função ímpar em
, quando integramos
sobre
, os valores positivos e negativos de
se cancelam. Ou seja:
Resposta
O valor da integral tripla é
.