Calcule a integral tripla integral triplaB x d x d y d z, onde B é conjunto x^2+y^2+z^2 <= 1, y >= 0

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaB x , dx , dy , dz, onde B é o conjunto definido por x^2+y^2+z^2 <= 1 e y >= 0. Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando uma função sobre uma região tridimensional no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades de simetria da função e da região de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a região B é metade da esfera de raio 1 centrada na origem, já que y >= 0. Isso significa que estamos integrando sobre a parte da esfera onde a coordenada y é não negativa.

Passo 3

A função que vamos integrar é f(x, y, z) = x. Notamos que essa função é ímpar em relação à variável x, ou seja, f(-x, y, z) = -f(x, y, z).

Passo 4

Vamos analisar a simetria da região B em relação ao eixo x. Apesar de estarmos considerando apenas y >= 0, a região ainda é simétrica em relação ao eixo x. Isso significa que para cada ponto (x, y, z) em B, existe um ponto (-x, y, z) também em B.

Passo 5

Devido à simetria da região e à função ímpar em x, quando integramos x sobre B, os valores positivos e negativos de x se cancelam. Ou seja:
integral triplaB x , dx , dy , dz = 0

Resposta

O valor da integral tripla é 0.

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