Evericias: Calcule as Seguintes integra l 1) integral0^pi sen^2(x) d x 4) integral cos ^5(alpha)raizsen(alpha) d alpha 2) integral tan ^3(x) d x 5) integral cos (x)+sin (2 x)sen(x) d x 3) integral Sen^2(pi x) Cos^5(pi x) d x 6) integral tan ^2(theta) d theta

Passo 1

A questão pede pra calcular seis integrais de funções trigonométricas usando identidades e substituições adequadas. Vamos precisar de: identidade de potência (por exemplo sin^2x=(1-cos2x)/2), substituição do tipo u=tan x ou u=sin(cdot), fatoração de potências pares e redução de expoentes.

Passo 2

Para integral0^pisin^2(x),dx usamos a identidade de ângulo duplo:
sin^2(x)=1-cos(2x)2
Logo
integral0^pisin^2(x),dx=12integral0^pi1,dx-12integral0^picos(2x),dx=pi2-12gl[sin(2x)2gr]0^pi=pi2

Passo 3

Para integraltan^3(x),dx escrevemos tan^3x=tan x(sec^2x-1). Assim
integraltan^3x,dx=integraltan xsec^2x,dx-integraltan x,dx
Na primeira parte, com u=tan x, du=sec^2x,dx, dá u^2/2=tan^2x/2.
Na segunda, integraltan x,dx=-ln|cos x|.
Juntando:
tan^2x2+ln|cos x|+C

Passo 4

Para integralsin^2(pi x)cos^5(pi x),dx use u=sin(pi x), então du=picos(pi x),dx e cos^5=cos^4cos=(1-u^2)^2cos. Fica
1piintegral u^2(1-u^2)^2,du=1piintegral(u^2-2u^4+u^6),du
=1pil(u^33-2u^55+u^77r)+C
Substituindo u=sin(pi x).

Passo 5

Para integralcos^5alpharaizsinalpha,dalpha fazemos u=sinalpha, du=cosalpha,dalpha. Como cos^5=cos^4cos=(1-u^2)^2cos e raizsinalpha=u^1/2, obtemos
integral(1-u^2)^2u^-1/2,du=integrall(u^-1/2-2u^3/2+u^7/2r),du
=2u^1/2-45u^5/2+29u^9/2+C
Substituindo u=sinalpha.

Passo 6

Para integralcos x+sin(2x)sin x,dx note que sin(2x)=2sin xcos x. Então o integrando vira
cos xsin x+2cos x=cot x+2cos x
Integrando:
integralcot x,dx=ln|sin x|,integral2cos x,dx=2sin x
Logo ln|sin x|+2sin x+C.

Passo 7

Para integraltan^2theta,dtheta usamos tan^2theta=sec^2theta-1. Assim
integraltan^2theta,dtheta=integralsec^2theta,dtheta-integral1,dtheta=tantheta-theta+C

Resposta

  1. pi2
  2. tan^2x2+ln|cos x|+C
  3. 1pil(sin^3(pi x)3-2sin^5(pi x)5+sin^7(pi x)7r)+C
  4. 2raizsinalpha-45(sinalpha)^5/2+29(sinalpha)^9/2+C
  5. ln|sin x|+2sin x+C
  6. tantheta-theta+C

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