onde é a fronteira do triângulo de vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a borda de um triângulo com vértices em , e , e está orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada pela curva .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que para uma curva fechada no plano, orientada positivamente (anti-horário), temos:
onde é a região delimitada por , e e são funções de e .
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Passo 5
Vamos descrever a região , que é o triângulo com vértices em , e . Para integrar sobre , podemos expressar os limites de integração em termos de e . Observando o triângulo, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até .
Passo 6
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Portanto, a integral interna resulta em .
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
integral0^1 e^x , dx = e^x |0^1 = e - 1
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12
Passo 9
Somando todas as partes:
e^2 - 12 - (e - 1) + 12 = e^2 - 1 - 2e + 2 + 12 = e^2 - 2e + 22