Calcule a integral de linha
ointgamma(x-y) d x+e^x+y d y
onde gamma é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointgamma(x - y) , dx + e^x + y , dy, onde gamma é a borda de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), e está orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada pela curva gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que para uma curva fechada gamma no plano, orientada positivamente (anti-horário), temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região delimitada por gamma, e P e Q são funções de x e y.
No nosso caso, P = x - y e Q = e^x + y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^x + y) = e^x + y
partial Ppartial y = partialpartial y (x - y) = -1

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointgamma (x - y) , dx + e^x + y , dy = integral duplaD ( e^x + y - (-1) ) dA = integral duplaD ( e^x + y + 1 ) dA

Passo 5

Vamos descrever a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Para integrar sobre D, podemos expressar os limites de integração em termos de x e y. Observando o triângulo, para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até x.

Passo 6

Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD ( e^x + y + 1 ) dA = integral0^1 integral0^x ( e^x + y + 1 ) dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^x e^x + y , dy = e^x integral0^x e^y , dy = e^x (e^x - 1) = e^2x - e^x
integral0^x 1 , dy = x
Portanto, a integral interna resulta em e^2x - e^x + x.

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 (e^2x - e^x + x) , dx = integral0^1 e^2x , dx - integral0^1 e^x , dx + integral0^1 x , dx
Calculando cada parte:
integral0^1 e^2x , dx = e^2x2 |0^1 = e^2 - 12
integral0^1 e^x , dx = e^x |0^1 = e - 1
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12

Passo 9

Somando todas as partes:
e^2 - 12 - (e - 1) + 12 = e^2 - 1 - 2e + 2 + 12 = e^2 - 2e + 22

Resposta

A integral de linha é igual a e^2 - 2e + 22.

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