Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de $ x $ sobre a região $ E $, onde $ E $ é definida por:
Vamos precisar usar o conceito de integrais triplas e entender bem os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável $ y $ varia de 0 a 1. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de 0 até $ 2y $. E para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de $ x - y $ até $ y + x $.
Então, podemos escrever a integral tripla assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ z $. Como $ x $ é constante em relação a $ z $, a integral fica:
Então, nossa integral agora é:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ x $. A integral de $ 2xy $ em relação a $ x $ é:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a $ y $. A integral de $ 4y^3 $ em relação a $ y $ é:
Resposta
O valor da integral tripla é 1.