Calcule a integral tripla
integral triplaE x d V,
onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1,0 <= x <= 2 y, x-y <= z <= y+x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de $ x $ sobre a região $ E $, onde $ E $ é definida por:
x
Vamos precisar usar o conceito de integrais triplas e entender bem os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável $ y $ varia de 0 a 1. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de 0 até $ 2y $. E para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de $ x - y $ até $ y + x $.
Então, podemos escrever a integral tripla assim:
y

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ z $. Como $ x $ é constante em relação a $ z $, a integral fica:
z
Então, nossa integral agora é:
x

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ x $. A integral de $ 2xy $ em relação a $ x $ é:
x
Então, a integral agora é:
2xy

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a $ y $. A integral de $ 4y^3 $ em relação a $ y $ é:
y

Resposta

O valor da integral tripla é 1.

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