Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
f: R+-0 R, f(x)=1+log 2 x

Passo 1

Temos a função f definida por f: R+setminus0toR, f(x)=1+log2x. O conteúdo envolvido é transformação de funções logarítmicas, análise de imagem e monotonicidade para decidir injeção e sobrejeção.

Passo 2

O domínio é x>0. Reconhecemos que f(x) é a função log2x deslocada 1 unidade para cima. Isso gera uma curva que tem assíntota vertical em x=0, cresce sem limite e passa por pontos como (1,1), (2,2) e (tfrac12,0).

Passo 3

Para saber a imagem, estudamos os limites: para xto0^+, log2xto-infty logo f(x)to-infty; para xto+infty, log2xto+infty logo f(x)to+infty. Portanto a imagem de f é R.

Passo 4

Calculamos a derivada para ver monotonicidade: f'(x)=1xln2, que é sempre positiva para x>0. Isso mostra que f é estritamente crescente e, consequentemente, injetiva.

Passo 5

Como a imagem coincide com o contradomínio R e a função é injetiva, concluímos que f é bijetiva.

Resposta

O esboço é a curva logarítmica de base 2 deslocada para cima 1 unidade, com assíntota vertical em x=0 e pontos característicos (1,1), (2,2), (tfrac12,0). A função é bijetiva.

Exercícios relacionados