Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
Passo 1
Temos a função f definida por f:
,
. O conteúdo envolvido é transformação de funções logarítmicas, análise de imagem e monotonicidade para decidir injeção e sobrejeção.
Passo 2
O domínio é
. Reconhecemos que
é a função
deslocada 1 unidade para cima. Isso gera uma curva que tem assíntota vertical em
, cresce sem limite e passa por pontos como
,
e
.
Passo 3
Para saber a imagem, estudamos os limites: para
,
logo
; para
,
logo
. Portanto a imagem de
é
.
Passo 4
Calculamos a derivada para ver monotonicidade:
, que é sempre positiva para
. Isso mostra que
é estritamente crescente e, consequentemente, injetiva.
Passo 5
Como a imagem coincide com o contradomínio
e a função é injetiva, concluímos que
é bijetiva.
Resposta
O esboço é a curva logarítmica de base 2 deslocada para cima 1 unidade, com assíntota vertical em
e pontos característicos
,
,
. A função é bijetiva.